数(x)=x°-6x?+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき,定数aの
f(a), f(B) を実際に求めるのは面倒なので, f(α)-f(B) を α-B, a+B, aB で表し,
209
3次関数の極大値と極小値の差
重要 例題
32%
のグラフの概形
値を求めよ。
基本 208
極大値と極小値の差が4→ f(a)-f(B)=4
C-B)°=(α+B)°-4aB を利用することで,a+B, aBのみで表すことができる。
解 答
(x)=3x°-12x+3a
わち 3x°-12x+3a=0
(<B)をもつ。よって, ① の判別式をDとすると
のは異なる2つの実数解 α, B
D>0
今回は差を考えるので,
D-(-6)°-3-(3a)=9(4-a)であるから
4
α<Bと定める。
4-a>0
x
B
したがって
F(x)のx°の係数が正であるから,f(x) はx=αで極大,x=8 f(x) ||極大極小
で極小となる。
fla)-f(B)=(α°-B°)-6(α°-B")+3a(α-B)
a<4
f(x) +
0
左(3次関数が極値をもつとき
=(α-B){(α°+aB+8°)-6(α+B)+3a}
=(α-B){(α+B)°ーaB-6(α+B)+3a}
極大値>極小値
0で,解と係数の関係より
α+B=4, aB=a
よって(α-B)=(α+8)?-4qB=4°-4-a=4(4-a)
α-B=-2/4-a 4から 4-a>0
よって 4-a>0
<Bより, α-B<0であるから
f(a)-f(B)=-2、/4-a(4°-a-6-4+3a)
2,/4-a{-2(4-a)}
=4(4-a)
4(V4-a)=4
ゆえに
C
44-a=((4-a)
3
fla)-f(8)=4であるから
すなわち
4-a=1の両辺を2
て解く。
4-a=1
(4-a)=1
ゆえに,4-a=1から
よって
a=3
これは②を満たす。
検討
S-a)(x-8)dx=3{-(α-B
-a)となる。
一カ.352 基本例題
の公式を利用
Ca
K
