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り出す。この
きるか。
3
うちはn
た方が確
った
29 整数解の組の個数(重複組合せの利用)
基本例題
(2) x+y+z=6 を満たす正の整数解の組(x,y, 2) は何個あるか。
(1) x+y+z= 7 を満たす負でない整数解の組(x,y, 2) は何個あるか。
CHART SOLUTION
○と仕切り の活用・・・・・・
(1) x+y+z= 7 を満たす負でない整数解の組(x, y, z) は、7個の○と2個の
仕切りの順列を考え, 仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を、左から
順にx,y,zとすると得られる。 例えば
〇〇〇一〇〇|〇〇には
一〇〇|〇〇〇〇〇には
M.2 基本事項 基本 28
がそれぞれ対応する。
(2) 正の整数解であるから,x,y,zは1以上となる。 そこで,x-1=X,
y-1=Y, z-1=Zとおき, 0 であってもよい X≧0, Y≧0, Z≧0 の整数解
の場合 ((1) と同じ) に帰着させる。 これは、6個の○のうち,まず1個ずつをx,
y, zに割り振ってから,残った3個の○と2個の仕切りを並べることと同じ
である。
解答
(1) 求める整数解の組の個数は7個の○と2個のを1列に
並べる順列の総数と同じで
021
9C7=9C₂= -=36 (個)
9.8
2･1
(x,y,z)=(3,22)
(x,y,z)=(0,25)
31
120**
別解 求める整数解の組の個数は,3種類の文字 x,y,zから
重複を許して7個取る組合せの総数に等しいから
3H7=3+7-1C7=9C7=9C2=36 (個)
(2) x≧1,y≧1, z≧1 から x-1≧0, y-1≧0,z-1≧0
ここで, x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと
X+Y+Z=6-3=3
よって求める正の整数解の組の個数は、3個の○と2個の
を1列に並べる順列の総数と同じで
PRACTICE ... 29 ③
･･･
3つの部分に分けるには,
3-1=2 (個) の仕切り
が必要。
9!
2!7!
でもよい。
5.4
5C3=5C2=- -10 (個)
2･1 21-HAL
別解 ○を6個並べる。 求める正の整数解の組の個数は,○と
○の間5か所から2つを選んで仕切りを入れる方法の総数
と等しいから
5Cz=10 (fE)
277
別解 3H3 = 3+3-1 C3
=5C3=5C2
10 (個)
(1)x+y+z=9を満たす負でない整数解の組(x,y,z)は何個あるか。
(2) rul
の整数解の組(x,y,z) は何個あるか。
3
組合せ
◆仕切り | は, 両端に入れ
ることはできない。
