Question

か

n群が含む項数は2^n-1だから(2)2^k-1ではなく2^k-2ではないのですか？なぜこうなるのか教えてください。

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基本例題 23
群数列の基本
1から順に自然数を並べて,下のように1個,2個 4個,
うに群に分ける。 ただし,第n群が含む数の個数は2個である。
1/2, 3/4, 5, 6, 7/8,
(1) 第5群の初めの数と終わりの数を求めよ。
(2) 第n群に含まれる数の総和を求めよ。
CHART & SOLUTION
群数列の基本
第群の最初の項や項数に注目
例題のように、群に分けられた数列を 群数
列という。
(1) 第4群の末頃までの項の総数をNと
区切りを入れる
と分け方の規則
がみえてくる
......
k=1
解答
1+2+2+2=15
(1) 第4群の末項までの項の総数は
第5群の末頃までの項の総数は
よって、 第5群の初めの数は 16, 終わりの数は31
1+2+2²+2³+2¹=31
(2) n≧2のとき,第 (n-1) 群の末頃までの項の総数は
(-16) E
2²-1-2-1-1
n-1
2-1
=2n-1-1
ゆえに,第n群の初めの数は (2'-'-1)+1 すなわち 27-1
これは n=1のときにも成り立つ。
“
よって、第群に含まれる数の総和は,初項が2"-1, 公差
が 1 項数が27-1 の等差数列の和となるから 求める和は
1/1・2"-1(2・2"^'+(2"''-1)・1}=2"-2(3・2"--1)
もとの数列
類 京都産大]
となるよ
群数列
すると, 第5群の初めの数は, 自然数の列の第 (N+1) 項である。 また, 自然数の列の第
項の数はとなる。
(2) 連続する自然数の和であるから公差1の等差数列の和で,あとは初項と項数がわか
ればよい。初項は (1) と同様にして求まる。 項数は問題文から,すぐにわかる。
区切りをとると
もとの数列の規
則がみえてくる
EAST
C 重要 24
n-1
2-1 は,初項1,公比
A=1
2の等比数列の初項か
ら第 (n-1)項までの和。
別解 第n群の終わりの数
は2-1であるから、私は
11/12.2°-12"-' + (2^-1
= 2²-²(3-2-¹-1)
PRACTICE 23②
正の奇数の列を次のように,第n群が (2n-1) 個の奇数を含むように分ける。
1/3,5,79, 11. 13 15 1710
辞各
群
各
群