したがって、(右辺)- (左辺)>0 となり, n=k+1 のをは2以上の自然数
1,0より, 2以上のすべての自然数nについて, ①は成り
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||題 317 数学的帰納法2)· 不等式の証明
え方 2以上の自然数について成り立つことを示すので, 次のことを証明すればよい。
nが2以上の自然数のとき、1+
1
1
22+ 32
1
n?
1
2--が成り立
2
つことを数学的帰納法で証明せよ。
n
2以上の自然数について成り立つことを示すので, 次のことを証明すればよい
(1) n=2 のとき,不等式が成り立つことを示す。
m カ=k(k22) のとき, 不等式が成り立つと仮定し,これを用いて, n=k+1 のと
きも成り立つことを示す。
立
ル
1
1+
223
1
1
計<2-- 0 とおく。
1
2?
n
(1) n=2 のとき,
(左辺)=1+=(右辺)3D2-=
188=-18
1_5
22
-30
2
より,(左辺)<(右辺)となり, n=2 のとき①は成り立つ。
n=k(k22) のとき, ①が成り立つと仮定すると,
1+
kは2以上の自然数
1
1
1
R?
1
k
×T-
22
3°
sn=k+1 のとき,
1
1+
1
1
1
22'32
<2-1
+ 何を示すかを明記す
k?
が成り立つことを示せばよい。
k+1
A+1 のときの
)になっていま。
る。
(右辺)-(左辺)
=2--1
うで; @を使ってす)
形し()の(価
(右辺)-(左辺)>0
1
1+
I+y
22
1
1
1
を示せばよい。
(*)の仮定を利用す
るが、不等号の向き
に注意する。
<▲ならば、
32
てな+1F)
>21
k+1
{2
になれば、n=
elk+1)0
ときも①は成り立つ。
301+=n
が示せる。
立つ、
0us
だから,k(k+1)>0
1
よって、+DF>0
のとき成り立つこ
+)で
()の)に
うに変形する
