Question

シロ

不等式の証明についてです。(ペンで指しているあたり)の、仮定②を利用、3kを代入しているということはわかるんですけど、この時に何故仮定②を利用して数字を3kに変えられるのかが、イマイチ理解できないです

例題
17
nが4以上の自然数のとき,次の不等式を証明せよ。
2">3n) 畑 での
考え方
数学的帰納法の(1)として,n=4 のとき成り立つことを証明すれば
5
よい。
与えられた不等式を①とおく。
条 矢
証明
(I) n=4 のとき,
(①の左辺)=2*=16
(①の右辺)=3-4=12
よって,①は成り立つ。
最 あること
O(I)k24 として, n==k のときの①, すなわち, (1)
2*>3k
…2
が成り立つと仮定する。
もさ ー (日)
2を用いて, n=k+1 のときのS-
2*+1>3(R+1)を示す。
のの両辺の差を考えると, 0T
2々+1_3(k+1)=2·2*-3k-3 N
仮定2を利用する。
へ
>2·3k-3k-3
へ
=3(k-1)>0 AS= k24 より, k-1>0
よって, 2*+1>3(k+1) が成り立つ。
すなわち,①は n=k+1 のときも成り立つ。
(1), (1Ⅱ)より, ①は4以上の自然数nについて成り立つ。

Answer 1

零

不等式の性質
「a＞bのとき、
①任意の実数cに対し、a+c＞b+c
②正の実数c(c＞0)に対し、ca＞cb
また、負の実数c＜0に対し、ca＜cb
が成り立つ」
したがって、①および②より、
a＞bのとき、
正の実数c, 任意の実数dに対して、
ca+d＞cb+d
が成り立つので、
2ᵏ＞3kのとき、(c=2,d=-3k-3とすると)
2∙2ᵏ-3k-3＞2∙3k-3k-3
が成り立つ。