ここの変形がわかりません。 数学的帰納法のところで 左辺を求めてるところです

1 +5 +9 + ·· + (4k-3)+ {4(k+1)-3}=k(2k-1)+(4k+1)=2k+3k+1 **S =(k+1)(2k+1) +1のときの(A)の右辺は

（2）です （1）よりan=－(2n－1)であると推測される とありますが、どうなっているのか分かりません、教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️

*254 次の条件によって定められる数列{an}がある。 a=-1, an+1=an²+2nan-2 (n=1,2,3,....) (1) az, a, a を求めよ。 (2) 第n項 αn を推測して, それを数学的帰納法を用いて証明せよ。

数学的帰納法の不等式の証明 この青の下線部の式はどうやって導くのですか泣

つと仮定する。 のときの(A) の両辺の差を考える -1-3(k+1)=2・2ター(3k+3) >2.3k-(3k+3) 3(k-1)>0) って T+* 2k+1>3(k+1) n=k+1 のときも (A) が成り立つ 4 以上のすべての自然数nについ

数学的帰納法の不等式の証明です 四角で囲ったところの意味がわかりません！ 教えてください！

10 5 C 不等式の証明 応用 例題 6 証明 を4以上の自然数とするとき, 次の不等式を証明せよ。 2"> 3n 考え方 n≧4 であるから,次のことを示す。 [1] n=4 のとき, 不等式が成り立つ。 [2] k≧4 として,n=kのときの不等式 2>3k が成り つと仮定すると, 不等式 2+1 > 3(k+1) が成り立っ この不等式を (A) とする。 [1] n=4 のとき 左辺=24=16. 右辺= 3・4 = 12 よって, n=4のとき, (A) が成り立つ。 [2] k≧4 として,n=kのとき (A) が成り立つ、すなわち 2k > 3k が成り立つと仮定する。 n=k+1 のときの(A) の両辺の差を考えると 2k+1-3(k+1)=2.2- (3k+3) >2･3k-(3k+3) =3(k-1)>0 ◆2k>3kより すなわち 2k +1 > 3(k+1) よって,n=k+1 のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から, 4以上のすべての自然数nについて(A)が成 立つ。 k≧4より k-1>0 10 15 20

なんで等差数列なんですか？

|指針 解答 例題24 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 3an an+3 漸化式の両辺の逆数をとり, bm=1 とおく。 an α > 0 であるから, 漸化式により a>0 これを繰り返して, すべての自然数nについて よって,各項の逆数が存在して, 漸化式から すなわち an= = STEP B a=1, an+1= 1 _ an+3 an+1 3an 232① an 1 であるから bn 1 ここで, bn= とおくと bn+1=bn+ , b₁= 3 ai したがって,数列{bn} は初項 1, 公差の等差数列で ba-1+(n-1), 1 ゆえに bn= 第2節 数学的帰納法 169・ an 同様にして an>0 3 n+2 1 1 an+1 an 3 1 参考 すべての自然数nについて a>0 となることを厳密に証明するには、次の項目で学ぶ 数学的帰納法を用いる。 + n+2 a3>0 第3章 数 列

添削してください! 問題は n(n^2+2)は3の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明しなさい です

2 (i)n=1のとき 1 (1212)=3となるので3の倍数である。 (ii)n=kのときk(k+2)が3の倍数であると仮定すると n=k+1のとき(k+1){(k+1)+2} (k+1)(k+2k+1+2) (k+1)(k2+2+3) k²³²+ 2k² + 3k + k ²³+ 2 k + 3 K'+3k+5k+3 K(K3K+5)+3 k}(k+2)+(3k+3)}+3 - ( 2 =K(k2)+3k+3k+3 =k(k2)+3(k+k+1) K(k2)が3の倍数なのでn=k+1のときも成り立つ したがって(1) (1)よりn(n^²+2)は3の倍数である。

問3以降の途中式教えて下さい。 それから、なんでn（n −1）（2n−1）じゃなくて、 （n−1）n（2n−1）ってnが真ん中にくるんですか？

230 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 (1) α=1, an+1-an=2n *(2) a1=2, an+1-an=3n²+n (3) a1=1, an+1=an+n*(4) a1=1, an+1=an+4” 231 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 235

(3)番を数学的帰納法で解きました！ 間違ってるところや改善点があれば何でも言って欲しいです。お願いします、、！

nを自然数とする。 一般項が an = n(n+1) で表される数列{an}を考えて, {an}の初項から第n項までの和をSとする。このと き、以下の設問に答えよ。 (1) S1, S2, S3, S4 を求めよ。 (2) Smについて, S, <1となることを示せ。 (3) 一般項が bn=1-1 (n+1)² で表される数列{bn} を考える。 数学的帰納法を用いて が成り立つことを示せ。 1-Sn <bi.bz..... bm Sn= |- nti bn=1 - (n+1)" (3) |- Sn<bibz…..ba①が成り立つことを 数学的帰納法を用いて示す。 (i)n=1のとき (た辺)=1-1/2 (512)= |- == 2 = = 2 (te: 32) (10 272) 51). n=1のとき、①は成り立つ。 (=k(kは自然数)のとき①が成り立つと仮定する。 すなわち、1-Sk<bi-babk母が成り立つと仮定する。 bibabkbkti-(HS)=Pとすると、 D²¹), (1-Sk)- bakti -(1-Seri)<< bi b₂=-=bk²bk +²= (1-5)=P k+3k+2 (1-5k)· bu+) - (1-5mm) = _ x² + 46 13 (k+1) (k+2)² (k+2}{(k+1) (taja Kは自然数なので O< (k+2) = <P OPなので、1-S<bb2.bbatが成り立 よって、n=k+1のときも①は成り立つ。 (ⅰ)(i)より、すべての自然数んについて。 不等式が成り立つ。(Q.E.D!

(2)を数学的帰納法を用いて証明したのですが、合っていますか？、 また数学の記述として、こうした方がいいとかあれば教えてほしいです！ (1)の問題の証明は省いてます。

3 nを自然数とするとき、以下の設問に答えよ。 (1) 不等式 が成り立つことを証明せよ。 (2) 不等式 √n+1-√√n < 2√n Vn+1< + n-1 2√2 が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 n-l (②2) 不nati</12/2+12/01/2①の成り立つ ことを数学的帰納法を用いて示す。 (i)n=1のとき 3 4 (€22) = √2 (622) = 2²/2 = √ √ 7. であるから、V よって、n=1のとき、①は成り立つ。 (iⅱi)n=k(kは数)のとき、①が成り立つ仮定する。 すなわち、kti<予+ 2 2√2 UK12-332-15=Pとすると 2√2 (1)より、Vk+2 <Vk+1+ 2Vk+1 よって、PCVK+1+2k-12/12-11 3 3 k 2 2V2 ②より、P<Vk+i+ 1Kより、2Nk+1 よってPKO すなわち、Nk+1/2/2+1/2となり n=k+1のときも①は成り立つ。 20k+1 21≦0 (ⅰ))より、nを自然数とするとき ①は成り立つ。 20k+1 2V2 Q.E.D.D

数3です。 この式変形を教えてください。

192 重要 例題 113 漸化式と極限 (5) ・･･ はさみうちの原理 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, ･･････) を満たすとき (2)3-an+1< 1/12 (3-an)を証明せよ。 3 (1) 0<a<3 を証明せよ。 (3) 数列{an} の極限値を求めよ。 指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す→ 数学的帰納法の利用。 (2) (1) の結果,すなわち an> 0, 3-an> 0 であることを利用。 (3) 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで, (2)で示した不等 ! 式を利用し, はさみうちの原理を使って数列 {3-an} の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて n≦an≦gn のとき limp=limgn=α ならば n-00 7140 なお、次ページの補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) 0<an<3 ① とする｡ [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3 n=k+1のときを考えると, 0<a<3であるから ak+1=1+√1+an>2> 0 練習 ③ 113 .….... ak+1=1+√1+an <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 よって,n=k+1のときにも ①は成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて ①は成り立つ。 3-An -(3-an) (2) 3-an+1=2-√1+an 2+√1+an (3)(1),(2) から 0<3-an S したがって liml 2 (13) (34)=0であるから 11-00 lim(3-an)=0 1400 liman=3 n-1 ≤ (1) ² (3-a₁) 3 n-00 LE a=2, n≧2のとき an liman = a n→∞ 3 2 [類 神戸 p.174 基本事項 3 基本 105 van-1 1 数学的帰納法による。 ◄0<a₁<3 KOM 0<a から √1+an>1 an<3から √1+ak <2 <3-α>0であり、a>0か ら 2+√1+an>3 n≧2のとき, (2) から 3-an< (3-an-1) <(1) ²(3-an-2)..... n-1 · < (-/-) "¹¹ (3-as) 3 を満たす数列{an}について