Question

おしえてよ

(3)番を数学的帰納法で解きました！
間違ってるところや改善点があれば何でも言って欲しいです。お願いします、、！

nを自然数とする。 一般項が
an = n(n+1)
で表される数列{an}を考えて, {an}の初項から第n項までの和をSとする。このと
き、以下の設問に答えよ。
(1) S1, S2, S3, S4 を求めよ。
(2) Smについて, S, <1となることを示せ。
(3) 一般項が
bn=1-1
(n+1)²
で表される数列{bn} を考える。 数学的帰納法を用いて
が成り立つことを示せ。
1-Sn <bi.bz..... bm
Sn= |- nti bn=1 - (n+1)"
(3) |- Sn<bibz…..ba①が成り立つことを
数学的帰納法を用いて示す。
(i)n=1のとき
(た辺)=1-1/2
(512)= |- == 2
= =
2
(te: 32) (10 272) 51).
n=1のとき、①は成り立つ。
(=k(kは自然数)のとき①が成り立つと仮定する。
すなわち、1-Sk<bi-babk母が成り立つと仮定する。
bibabkbkti-(HS)=Pとすると、
D²¹), (1-Sk)- bakti -(1-Seri)<< bi b₂=-=bk²bk +²= (1-5)=P
k+3k+2
(1-5k)· bu+) - (1-5mm) = _ x² + 46 13
(k+1) (k+2)² (k+2}{(k+1) (taja
Kは自然数なので
O< (k+2) = <P
OPなので、1-S<bb2.bbatが成り立
よって、n=k+1のときも①は成り立つ。
(ⅰ)(i)より、すべての自然数んについて。
不等式が成り立つ。(Q.E.D!

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