全く理解できませんでした。どなたか教えていただけませんか？

13*自然数nに対して, 1からnまでのすべての自然数の集合を Nとする。 Nから N への写像f が次の条件 「i,j が Mの要素で, isj ならば, つねに f(i)<f())」 をみたすとき,f(k)=k となるN の要素kが存在することを示せ.

🙏🏼🙏🏼🙏🏼 数学的帰納法の発想は浮かんだんですけど、他の方法でやろうと考えた時に写真のような数列を利用する解法が頭に浮かびました。実際に計算してみたところ、答えが出ませんでした。数列を使ってはこの問題は解けないのでしょうか。　難問ですね、

4.6 10/ 0<a<1(k=1, 2, …, n) のとき, 不等式 aiQ2…an>ai+az+…+an+1-n(n=2, 3, 4, …) が成り立つことを示せ。 (お茶の水女子大)

11.12の計算過程と解説お願いします！

8 分の列を,次のような群に分ける。 ただし, 第n群にはn 数が 章末問題B 入り,そ 母は n, 分子は1からnまでの自然数であ 。 |1 2 3 |1 2 3 33 4 2 3 は第何項か。 10 -2) 第100項を求めよ。 1から 100 まの自然数のうち, 次のような数の和求めよ。 (1)の倍数 (2) 4で割ると3余。。 10項数nの数列1·n, 2(n-1), 3(n-2), …, n·1がある。 (1) この数列の第を項をnとkを用いた式で表せ。 (2) この数列の和を求めよ。 10 11 数列 {am)の初項から第n項までの和 Sn が, Sn=D 2an-1 であるとする。 (1) an+1=D 2anであることを示せ。 (2) 第n項anを求めよ。 12 次の条件によって定められる数列 {an} がある。 a,=1, nan+1=D 2(n+1)am (n=1, 2, 3, …) (1) bn= an とするとき, 数列 (b.} の一般項を求めよ。 15 n (2) 数列 (an} の一一般項を求めよ。 15ペての自然数nについて、22nー は5の倍数である。このこと を,数学的帰納 いて証明せよ。 |ヒント」

Σの計算てす。 計算の仕方が全く分かりません。（公式はわかってます） 良かったら教えてください

3 次の和を求めよ。 3れ (1) 2(3k?+5k-1) k=2n

【至急！】数学的帰納法での不等式の証明がよく分かりません。どなたか解説お願いしたいです🙇🏻‍♀️写真で、青で書き込んである部分もよく分かっていません💦よろしくお願いします

nは3以上の自然数とする。 不等式 2">2n+1を, 数学的帰納 C 数学的帰納法による不等式の証明 応用 例題 法によって証明せよ。 6 (解説)n23であるから, 次のことを示せばよい。 [1] n=3のとき,不等式が成り立つ。 [2] k23として, n=kのとき不等式が成り立つと仮定すると。 5 n=k+1のときにも不等式が成り立つ。 証明 この不等式を①とする。 [1] =3のとき 左辺=2°=8, よって, n=3のとき, ① は成り立つ。 右辺=2·3+1=7 10 [2]、k23として, n=kのとき①が成り立つ, すなわち 2*>2k+1 の と仮定する。n==k+1 のとき, ① の両辺の差を考えると 2*+1_{2(を+1)+1}=2:24-(2k+3) 2から 2:2-(2k+3)>2(2k+1)-(2k+3) 差いO より -2k-1>0 大きい 2*+1-{2(k+1)+1}>0 15 ←R23から よって すなわち よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 20 [1」, [2] から, 3以上のすべての自然数nについて①は成り 立つ。 終

赤線部分はどこからきたのか教えてほしいです🙏🏻💦

(m-1)2"+!+2+am+1=m.(2m+1-2)+2m+2 以上(i),(i)より,すべての自然数nについて(*)が成り立つ。 1°(2)で用いた方法は,等比数列の和の公式を導くときに使われる方法と同じである. と推定される。(*)が,すべての自然数nについて成り立つことを数学的帰輸法で をのに代入しさえすれば、おなじみの形の瀬化式③が は、縦、横がa, ag+1 の長方形の面積 a,Qォ+1 と等しく a+a°+…… +a,?=a,am+1 ax+2 ka,=(n-1 第11章 勇 ので、カ=1 として カ=2 として a=2 a+2az=(a,+az+2)+2 a+2az+3as=2(a,+ a;t as+2)+2 が成り立つ。 [B]について、 (2)で誘導にうまく乗り,a,をx。で表) 3) 1 4+1=2- a-4 a,=2- ガ=3 として Xョ+1 得られる。 :. a=8 これらより 24 93 示す。 を求めよ。 (2)2を求めよ。 a=2) m2(. 次の関係式を満たす数列 {a,}をすべて求めよ. 列 +2)+2 ka,=(n-1) 28の Cmti)amt1 (埼玉大) のより。 eはSm (思考のひもとき S.+(m+1)a m+1=ml (k=1 +am+1+2)+2 - 2 S,= r+2+3+ ……+nr の両辺をr倍すると 1. +(n-1)r"+nr"+1となり辺々引くと (1),(2)の結果を用いると rS,= (1-r)S, =|r+パ +r +……………+pm-nr"+1 * am+1=2%+1 となり、n=m+1のときも(*)が成り立つ、 解答 (1) 初項2, 公比2の等比数列の初項から第n項までの和を求めて ー22-2-1-2(2"-1)」 =2"+1_2 よって,①を満たす数列 {a,}は 2-1 a,=2" (2) S,=242" とおくと 解説 S,=1-2 +2-2°+3-2°+ -2 25, = +n-2" 1-2°+2·2°+ S=a+ar+ar+ +ar"-1 rS= art ar+… +ar"-!t an より(1-r)S=a(1-y"); =2*+1-2-n-2*+1 2 (3)では,数学的帰納法を使わずに, ①から数列 (a)の漸化式を求めて次のように 解いてもよい。

（2）の帰納法での求め方を教えていただきたいです。

数列 {an}は 0<a<3, an+1=1+V1+an (n=1, 2, 3, ·…)をみたす ものとする.このとき,次の(1), (2), (3)を示せ. n=1, 2, 3,… に対して,0< an<3 1 に対して,3- anS n-1 n=1, 2, 3, (3-a) 3

(1)の問題なのですが、この問題がもし記述で出た時、偶数乗と奇数乗で余りに法則性があることは自明として良いのでしょうか？それとも数学的帰納法か何かしらの方法で証明しなければならないのですか？

BGK 例題 249 合同式の利用2) (早稲田 (1) 20002000 を12 で割ったときの余りを求めよ。 (2) 49123 の一の位の数字を求めよ。 88+ 考え方合同式の性質(a, b:整数, m, n:正の整数) a"=6" (modm) a=b (mod m)ならば, であることを利用する。 (1) まず, 2000を12で割った余りを考える。 (2) 10 の倍数は, 10, 20, 30, 40,……となり,一の位は必ず0であるか を10 で割ったときの余りが一の位の数字と等しくなる. Gbom) =1+8=8 にあ 余 Dom 3F 2000=12 (1) 2000=8(mod12) したがって, ここで, 解答 20002000=82000 (mod12) 8°=64=4(mod12) 8°=8°×8=4×8=32=8(mod12) 8*=8°×8=8×8=4 (mod12) m bom) 設+ 8°=8(n 8°=4(n 0 (mbotn (mbom) hod 余りが4 4より 82k=4(mod12), 8?k+1=8 (mod12) すのが (んは正の整数) 82000=4(mod12) | 20002000=4(mod12) 2000=2×1000 より, 82k の方 (tbom) [-このとき,①より、 よって,求める余りは, 4

n<=kの意味が分かりません。どなたか説明していただけますか？

73 各項が正である数列 {an} が, 任意の自然数 n に対して, (ai+az+…+an)=aパ+az+.…+an' 3 3 をみたしている。この数列の一般項を求めよ. (頻出問園)

(3)がわからないです。 わかる方いたら教えてください

レポート作成上の注意: 1.名前と学籍番号を書くこと。(成績処理の都合) 2.ファイル名は「Report4」とするのが好ましい。(全角文字はバグの原因になる)(成績処理の都合) 3. 採点者が読みやすい文字で書くこと。(採点の都合) 4.問題文は書き写さない。可能な限り一枚の(明るい) pdf にまとめること。(pdf 以外は減点します)(採点の都合) 3 *3 -1<zS1のとき log(1 + z) = r となることが知られている。たとえばェ=1のとき 2 4 5 1 log 2 = 1- 2 1 1 3 4 となりェ=1/2のとき log3- log2 = log(1 + 1/2) = 1 2 3 4 5 となる。 課題、関数 f(z) = log(1 + z) を考える。 となることを数学的帰納法を用いて証明せよ。 fo) (0) (2) f(x)のェ=0におけるテイラー多項式 P,(r) = f(0) + f'(0)r + 2! n を求めよ。 n! (3) 0SS1とする。f(z) のn+1次の剰余項 Rn+1(x)を考える。テイラーの定理を用いて lim Ra+1(x) = 0 を示せ。ここでn+1次の剰余項 R+1(z) とはf(x) - P,(z) のことである。 補足:(3) の主張は、0冬ぉS1のとき f(z) = lim (P.(z) + Rn+1(r)) = lim P,(z) = f(0) + f(0)x+ 2! f"(O。 f)(0) n! 2→ となることを意味する。 注意:多くの参考文献では、f(z) のn次の剰余項 R,(z)(= f(z) - P,-1(z)を考えている。注意すること。