0, ②とも左辺, 右辺は0以上であるから, それぞれ 両辺を平方 した式と同値である。
重要 例題28 不等式を満たす点の存在範囲 (2)
複素数えが1z-1|slz-4|<2|z-1|を満たすとき, 点zが動く範囲をま
面上に図示せよ。
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基本22
lz-1|<|z-4|
112-452|z-1|
の
である。
の
指針> |z-1|<|z-4|<2|z-1| →
平方した不等式を整理する方針で進める。
また,別解のように, z=x+yi (x, yは実数)として, x, yの不等式の表す領域として
考えてもよい。
数学IIで学んだ知識で解決できる。
解答
(a20, b20のとき
asb→a<6°
|z-1|s|z-4|S2|z-1|から
|z-1fs|z-4<2"|z-1f
(z-1)(-1)S(z-4)(z-4)
のz-1fs|2-4Pから
- 5
2
る+z
整理すると
z+zS5
ata
2
はzの実部。
ゆえに
2
これは点
5
を通り,実軸に垂直な直線とその左側の部分を表
検討
については, P(z), A(1),
B(4)とすると AP<BP
|z-1|<|z-4
す。
のまた, |z-4P<4|z-1°から (z-4)(z-4)<4(z-1)(ミ-1)|よって, 点Pは2点A,Bを
整理すると 22w4 すなわち |2ド>2°
結ぶ線分の垂直二等分線およ
びその左側の部分にある。
したがって
|2|22
これは原点を中心とする半径2の円とそ
の外部の領域を表す。
以上から,点zの動く範囲は 右図の斜
線部分 のようになる。
ただし,境界線を含む。
別解 z=x+yi (x, yは実数)とすると、
|2-1fslz-4fs21|z-1fから
(x-1}+y°s(x-4}+y's4(x-1)'+y°}
(x-1)°+y°s(x-4)+y?から
x
0
P(z)
の
0| A(1) B(4)
X
z-1=x-1+yi,
2-4=x-4+yi
(x-4)+ys4(x-1)°+v?\ か
5
xS
2
よって
占
5_2
5_2
C
