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3第2章 2 次関数
Check
の
例 題 95
解の存在範囲4)
2次方程式 ax°-ー(a+1)x-3=0 の1つの解が -1<x<1 の範囲にあ
り,他の解が2<x<4 の範囲にあるような定数aの値の範囲を求めよ。
y=f(x)
考え方 y=S(x)=ax°- (a+1)x-3 とおくと,
題意を満たすのは, f(x) のグラフが
右の図のようになるとき.
つまり,グラフの凹凸に関係なく
f(-1)とf(1)が異符号,
f(2) と f(4) が異符号
より,f(-1).f(1)<0,
S(2).f(4)<0 となるときである。
2
4 x
2 14 x
y=f(x)
「-1と1の間2と4の間-1と1の間2と4の間
Omo
解答 y=f(x)=ax"-(a+1)x-3 とおくと,
aキ0
2次方程式
ax-(a+1)x-3
f(x)=0 は2次方程式より,
求めるのは, y=f(x) のグラフが -1<x<1 と 2<x<4
の範囲で,それぞれx軸と交わるaの値の範囲である。
(i) y=f(x) のグラフが -1<x<1 の範囲でx軸と交
わるための条件は, f(-1).f(1)<0 となることである。
f(-1)=a·(-1)?1(a+1).(-1)-3=2a-2
f(1)=a·12-(a+1)·1-3=-4
より,
したがって, a-1>0 より,
(i) y=f(x) のグラフが 2<x<4 の範囲でx軸と交わ
るための条件は, f(2). f(4)<0 となることである。
f(2)=a-2?-(a+1)·2-3=2a-5
f(4)=a·4°-(a+1)·4-3=12a-7
=0
より,aキ0
a>0 の場合
4 x
お
a>1
…D
a<0 の場合
-1
4
1
2
x
より,
f(2).f(4)=(2a-5)(12a-7)<0
となり,いずれも
したがって,っくa<。
12
2
f(2).f(4)<0
よって, ①, ② より, 1<a<-
となる。
7
1
5
a
12
2
Focus
解の1つがpより大きくqより小さい,
他の1つはpより小さいかqより大きい
f(b).f(q)<0
注)例題95のように, f(-1)·f(1)<0 かつ f(2)·f(4)<0 のとき, 必ずx軸と2つの共
有点をもつから, 頂点のy座標の正負に触れる必要はない、 軸の位置も関係ない.
のことを,いろいろな2次関数のグラフをかいて確かめてみよう.
練翌
