Question

あかね

（2）はD>0を満たす範囲は考えなくて良いのは何故ですか？

基本例題49 2次方程式の解の存在範囲(1)
20
O○OOO
2次方程式 x2+2(a-3)x+a+3=0 の解が次の条件を満たすような定数a
の値の範囲をそれぞれ求めよ。 の
(1) 異なる2つっの正の解をもつっ
暴本、
(2)異符号の解をもつ
b.70 基本事項4
CHART
OSOLUTION
2次方程式の異なる2つの実数解 α, B の符号
α>0 かつ 8>0 → D>0, α+β>0, aB>0]
収とBが異符号 αβ<0
解と係数の関係を用いて, α+B, aBをaを用いて表す。
解答)
x°+2(a-3)x+a+3=0 の2つの解を α, βとし, 判別式をD
とすると
D
=(a-3)?-(a+3)=(a-1)(a-6)
て学式4
解と係数の関係により
(1) a, Bが異なる正の数であるための条件は,次の 0, 2, 3
が同時に成り立つことである。
D>0……O, α+B>0 …
のから a<1, 6<a
2から a<3
α+B=-2(a-3), aβ=a+3
2, aB>0
の
③から a>-3 ⑥
④, ⑤, ⑥ の共通範囲を求めて
(2) α, Bが異符号であるための条件は
よって,求めるaの範囲は
-3<a<1
-3
3
6
a
aB<0
*このとき, D>0 は成
a<-3
立っている。
03
(b.704解説参照)

2次方程式 解の存在範囲

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

冒昧

異なる二つの実数解を持つとき、条件式が出てくるのは方程式が重解を持つときもα＋β＞０、αβ＞０を満たすからです。
そのため判別式というもう一つ条件式を持ってきて絞り込まなくてはいけません。

しかし、異符号の解を持つときはαβ＜０のみで十分ですよね？これを満たすのは解が異符号のときのみですから。だから判別式は使わなくても大丈夫です。

あかね

確かに十分ですね。返信ありがとうございます！

Answer 2

HS

たとえば2つの解の積が正なら、
その2つが異なる可能性も
一致している可能性もともにあります。

一方(2)のように2つの解の積が負の時点で
その2つは異なっているといえます。
したがってD>0が同時に満たされるので、
D>0は立てても立てなくてもよいのです。

あかね

理解できました。ありがとうございます！