矢印から更に微分した後の計算がよく分かりません。d/dyがつくというのが理解できません。公式？を覚えてやるしかないのでしょうか？ 教えてくださいm(_ _)m

(2) y=xにおいて dy d'y と dx dx2 をyを用いて表せ。 ただし, y=0 とする。 [15 大分大〕 5

写真の指針にある逆関数の性質について理解しきれておらず、使いこなせません。そのために、(2)がどういう意味をもって成り立っているのかもよくわからない状態です。 逆関数そのものに対する理解もxとyが逆になっているというぼんやりとしたイメージのままなのですが、何かいい解釈の仕方... 続きを読む

重要 例題 238 逆関数と積分の等式 (1) f(x)= のとき, y=f(x) の逆関数 y=g(x) を求めよ。 (1) の f(x), g(x) に対し,次の等式が成り立つことを示せ。 Sof(x)dx+$100g(x)dx=bf(b) -af(a) 解答 指針 (1) 関数 y=f(x) の逆関数を求めるには, y=f(x) をxについて解き, xとyを交換する。 (p.166 基本例題 95 参照。) (2)(1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)=x=g(y) を利用。 すなわちy=g(x) ⇔ x=f(y) に注目して, 置換積分法により, 左辺の第2 (1) y= ex ex+1 ex ex+1 ①から ②から f(b) 項Sa g(x)dx を変形することを考える。 f(a) ①の値域は (ex+1)y=ex ex== 0<y<1 ゆえに よって (1-y)ex=y x=log V 1-y 1-y 求める逆関数は,xとyを入れ替えて g(x)=log cf (b) (2)=g(x)dxとする。 f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) より x=f(y) ゆえに dx=f'(y)dy また g(f(a))=a, g(ƒ(b))=b x f(a)→f(b) xとyの対応は右のようになる。 y a → b よって ゆえに (3)]-SS(v)dy 1=Sys(y)dy=[ys = bf (b) -af (a) -Sof(x)dx Sof(x)dx+Sg(x)dx=bf (b)-af (a) [東北大] p.390 基本事項 ①.基本 95 [参考 (2) の結果は, f(x) = ex ex+1 f(x) は単調増加または単調減少),微分可能であれば成り立つ。 まず, 値域を調べておく。 <xについて解く。 ex=A⇔ x=logA [定義域は 0<x<1 YA 1 f(b) f(a) 0 1 2 a T S b X s=Sof(x)dx, *f(b) T-Sha g(x)dx = f(a) (2) の等式の左辺の積分は, 上の図のように表される。 (0<a<bのとき) でなくても,一般に,関数f(x) の逆関数が存在して(すなわち

逆関数の問題です。この問題の解き方を教えてください！

X +(x) = (x-₂) でx=2の時、f"(2)を求めよ。

❕逆関数の質問です❕ 右側のf^-1(x)の方の数値で、x=-8のときy=-2と書いてありますが、-8の三乗根だと虚数になるのではないんでしょうか？あとx=2のときどうしてy=2になるのかを知りたいです。

f(x) = x³ X -2 -1 0 1 2 その他の動画 Y -8 -1 0 1 2 -9-87-65-4-3-2 -9 -8 7 -6 -5 4 3 -2 -21 3 -4 =5 6 -7 -8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y=x ƒ˜¹(x) = ³√x X -8 OF 0 Y -2 0 2 YouTube 45

四角で囲った部分が何故そうなるのかが分からないので教えてほしいです！

396 重要 例題 238 逆関数と積分の等式 (1) f(x)= ex ex+1 (2) (1) f(x),g(x) に対し, 次の等式が成り立つことを示せ。 Sof(x)dx+S7100g(x)dx=bf(b) -af(a) 解答 (1) y= 指針▷ (1) 関数 y=f(x) の逆関数を求めるには, y=f(x) をxについて解き,xとyを交換する。 (p.166 基本例題 95 参照。) -nie (1) (2) (1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x) を利用。すなわち y=g(x)=x=f(y) に注目して, 置換積分法により、左辺の第2 ①から ②から ex ex+1 のとき, y=f(x) の逆関数 y=g(x) を求めよ。 0 項Sa g(x)dx を変形することを考える。 f(a) よって (e*+1)y=e* e²= 1²-y 求める逆関数は,xとyを入れ替えて g(x)=log- cf (b) (2)=g(x)dxとする。 f(a) ①の値域は 0<y<1 練習 ⑩ 238 って① (2) ゆえに (1-y)ex=y よって x=log f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) よりx=f(y) ゆえに dx=f'(y) dy また xとyの対応は右のようになる。 g(f(a))=a, g(f(b))=6 y I= i=S® yf'(y)]dy=[wf(y)]* -S°ƒ(v)dy a =bf(b) -af (a)-Sof(x)dx y 1-y the ゆえに Sof(x)dx+S70g(x)dx=bf(b)-af (a) 1-x xf(a)→f(b) a → b [ 東北大] p.390 基本事項 1 基本 95 まず, 値域を調べておく。 <xについて解く。 ARO13 ex=A⇔ x=logA 定義域は 0<x<1 YA 1 112 f(b). f(a) x=g(y) 0 2 a T S b X s=Sof(x)dx, T=S6g(x)dx f(a) (2) の等式の左辺の積分は, 上の図のように表される。 ( 0<a<bのとき) ex 参考 (2) の結果は, f(x)=1 でなくても,一般に,関数f(x) の逆関数が存在して(すなわち ex+1 f(x) は単調増加または単調減少),微分可能であれば成り立つ。Boox "nias 2 3x0 aを正の定数とする。 任意の実数x に対して, x = atany を満たすy π ( - 1 / < y < を対応させる関数を y=f(x) とするとき, f(x)dx を求めよ。 2 2 18 ②1 Ⓒ1 3

逆関数について、マーカーしたところがなぜそうなるのか教えてほしいです。

y=xに関して対称だから, y=f(x)とy=f'(x)が異なる2点 で交わる」ことと, 「y=f''(x) と y=x が異なる2点で交わる」ことは同値. よって2次方程式 1/12(x+1)+ 2 )² + ² = 1 Ay a a すなわち, x²-(a−2)x+3=0 は x≧-1の 範囲で異なる2つの実数解をもつ. そこで,g(x)=x2-(α-2)x+3 とおくと, この2次関数のグラフは右図のようになる. a-2 2 I 69 -10 ly=g(x)

「このとき、①と②の定義域はともにx≠-aとなり一致する」というのはなぜ分かるんですか？

基本例題 96 . 6は定数で, ab=1 とする。 関数 y=- a, と一致するための条件を求めよ。 逆関数がもとの関数と一致する条件 (金) 6x+1 x+a 指針2つのxの関数f(x),g(x) が一致する等しい)とは [1] 定義域が一致する 解答 bx+1 b(x+a)+1-ab 1-ab x+a x+a x+ta したがって, ① の値域は ①からy(x+α)=bx+1 y=6であるから x= よって ① の逆関数は [2] 定義域のすべてのxの値に対して f(x)=g(x) が成り立つことである。この問題では,f'(x)=f(x) が定義域で恒等式となる ための必要十分条件を求める。 AGRI y=6 練習 €96 ay+1 y-6 y= afa ゆえに x(y-b)=-ay+1 - (2 (x+2) ( -ax+1 x-b ①と②が一致するための条件は, がxの恒等式となることである。 ③の分母を払って同ら +6 TE 0000 ①の逆関数が,もとの関数 [奈良大] (x+b) 0(150A+ -₂)(x + a)(x-²)(x+b bx+1=ax+1 x+ax-b 基本95 (x)=(1-v=f(x)=f(x)であるとき, 2 f(x) の定義域xキーがニエ x=bに一致するから a=b (必要条件) _=ax+1 f(x) = - このとき, x+a の逆関数はf(x) に一致する (十分条件)。 ( 別解 定義域が一致すること に着目した解法。 bx+1 f(x)= とする。 x+a f(x) の値域はy=6であるか ら,逆関数f'(x) の定義域は (bx+1)(x-b)=(-ax+1)(x+α) (a+b){x2+(a-b)x-1}=0 xについて整理すると これがxの恒等式であるから a+b=0 (すなわち b=-α) このとき、①と②の定義域はともにxキーαとなり一致する。この確認を忘れずに! [S] THE SE 1+1-8-1_20≤(1) [8] 検討 「1対1の関数」という表現について 関数 y=f(x) において、 異なるxの値に対し、異なるyの値が対応しているとき [すなわち x2 ならばf(x)=f(x2)のとき] 関数f(x) は1対1であるという。 f(x) が1対1の関数であるとき, f(x) の逆関数が存在する なお、上の例題の ab≠1という条件は、関数 ① が1対1であるためのものである。もし､ 167 ab=1 とすると y=b (定数関数)となり, ①は1対1の関数ではなくなるから,逆関数は存在し ないことになる。 本/Bat 280x) 8+³x − −−x 3 A+x8 — \ −e (1) a≠0 とする。関数f(x)=2ax-5a²について,-'(x)とf(x)が一致するよ うな定数αの値を求めよ。 DOL (2)関数y=ax+b x+2 ( b2a) のグラフは点 (1,1)を通り,また,この関数の逆関 数はもとの関数と一致する。 定数 α, b の値を求めよ。 [(2) 文化女子大] (p. 172 EX72, 73 章 3 逆関数と合成関数 3章 13

計算方法が分かりません。

X (??)) √ 1 ² + 1 dx. ((7) S 4 +1 — tan²x² + C = (8²) H

y=3x+5の逆関数のグラフをかけ。 という問題で、逆関数の求め方は分かったのですが、グラフはy = x/3 - 5/3 のグラフだけをかけばいいんですか?

xとyは入れ換えていいのですか？

<別解 > y=log24xにおいて,xとyを入れ換 えると, x=log24y これより, 4y=2x 2x y = 4 =2x-2 また、問題のグラフにy=log24xのグラフをか き込んで考えてもよい。 (1) 点 の