Question

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写真の指針にある逆関数の性質について理解しきれておらず、使いこなせません。そのために、(2)がどういう意味をもって成り立っているのかもよくわからない状態です。
逆関数そのものに対する理解もxとyが逆になっているというぼんやりとしたイメージのままなのですが、何かいい解釈の仕方などあれば教えていただきたいです。

重要 例題 238 逆関数と積分の等式
(1) f(x)=
のとき, y=f(x) の逆関数 y=g(x) を求めよ。
(1) の f(x), g(x) に対し,次の等式が成り立つことを示せ。
Sof(x)dx+$100g(x)dx=bf(b) -af(a)
解答
指針 (1) 関数 y=f(x) の逆関数を求めるには, y=f(x) をxについて解き, xとyを交換する。
(p.166 基本例題 95 参照。)
(2)(1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)=x=g(y)
を利用。 すなわちy=g(x) ⇔ x=f(y) に注目して, 置換積分法により, 左辺の第2
(1) y=
ex
ex+1
ex
ex+1
①から
②から
f(b)
項Sa g(x)dx を変形することを考える。
f(a)
①の値域は
(ex+1)y=ex
ex==
0<y<1
ゆえに
よって
(1-y)ex=y
x=log
V
1-y
1-y
求める逆関数は,xとyを入れ替えて g(x)=log
cf (b)
(2)=g(x)dxとする。
f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) より x=f(y)
ゆえに dx=f'(y)dy
また
g(f(a))=a, g(ƒ(b))=b x f(a)→f(b)
xとyの対応は右のようになる。
y
a → b
よって
ゆえに
(3)]-SS(v)dy
1=Sys(y)dy=[ys
= bf (b) -af (a) -Sof(x)dx
Sof(x)dx+Sg(x)dx=bf (b)-af (a)
[東北大]
p.390 基本事項 ①.基本 95
[参考 (2) の結果は, f(x) =
ex
ex+1
f(x) は単調増加または単調減少),微分可能であれば成り立つ。
まず, 値域を調べておく。
<xについて解く。
ex=A⇔ x=logA
[定義域は 0<x<1
YA
1
f(b)
f(a)
0
1
2
a
T
S
b X
s=Sof(x)dx,
*f(b)
T-Sha g(x)dx
=
f(a)
(2) の等式の左辺の積分は,
上の図のように表される。
(0<a<bのとき)
でなくても,一般に,関数f(x) の逆関数が存在して(すなわち

数3 逆関数 積分 青チャート 理系 高校数学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

沢木陽織

例えば、f(x)=x^3がf(1)=1、f(2)=8、f(3)=27……というふうに値を変換する関数だとすれば、この逆関数g(x)=x^(1/3)は、g(1)=1、g(8)→2、g(27)→3、……というふうに「f(x)で変換された値を元に戻す」関数になります。
多分、逆関数はこういうふうに値を元に戻す関数なのだとイメージするとわかりやすいと思います。
この値を元に戻すという性質から、gとfが逆関数の時、g(f(x))=xという式が成り立ちます。例えばfとgがさっきの設定なら、g(f(1))=g(1)=1、g(f(2))=g(8)=2、……という具合です。
この式から、画像マーカー部の性質が説明できます。y=g(x)の時、この式の両辺をf(x)の中に入れても両辺は等しいので、f(y)=f(g(x))=xとなりますし、逆にこの式をg(x)の中に入れればg(x)=g(f(y))=yとなります。
また、y=f(x)という式が与えられてこの逆関数を求める時にxとyを入れ替えますが、これもこんなふうに考えれば良いです。求めたい関数をy=g(x)と置きます。この両辺をf(x)の中に入れると、f(y)=f(g(x))=x(これが元の式でxとyを入れ替えたものになっている)となり、これをy=(xの式)の形に整理します。すると、最初にy=g(x)と置いたことから、このxの式がg(x)であると分かるわけです。
(2)については、画像右にある図で、上向きをx軸、右向きをy軸に見立ててみる(つまりx軸とy軸を入れ替える)と、この時図の曲線を表す式は、y=f(x)のxとyを入れ替えたx=f(y)(つまりy=g(x))になることがわかります。このように考えれば、g(x)の面積Tが図のようになることが理解できると思います。(模範解答の置換積分も、xの積分をyの積分に置き換えて処理しているという点で、根底にある考え方はこれと同じものです)

沢木陽織

長文失礼しました。

、

とても丁寧にありがとうございます😭
変換された値を元に戻す関数であるという考え方が抜群にわかりやすかったです！