500円,100円, 10円の3種類の硬貨がたくさんある。 この3種類の硬貨を使っ
て, 1200円を支払う方法は何通りあるか。 ただし, 使わない硬貨があってもよ
いものとする。
支払いに使う硬貨 500円, 100円, 10円の枚数をそれぞれx,y,zとすると
・基本7
指針
500x+100y+10z=1200 (x,y,zは0以上の整数)
この方程式の解 (x, y, z) の個数を求める｡
..... 金額が最も大きい 500円の枚数xで場合分けすると、分け方が少なくてすむ。
支払いに使う 500 円,100 円,10円硬貨の枚数をそれぞれ
解答 x,y,zとすると, x,y,zは0以上の整数で
500x+100y+10z=1200 すなわち 50x+10y+z=120
よって 5x≦12
x=0, 1,2
ゆえに 50x=120-(10y+z)≦120
xは0以上の整数であるから
[1] x=2のとき
10y+z=20
この等式を満たす 0 以上の整数y, zの組は
(v, z)=(2,0),(1,10, 0, 20) の3通り。
10y+z=70
[2]x=1のとき
2
この等式を満たす0以上の整数y, zの組は
(y, z)=(7, 0), (6, 10), ………,(0,70)の8通り。
[3] x=0のとき
C
10y+z=120
この等式を満たす0以上の整数y, zの組は
(y, z)=(12, 0), (11, 10), …,(0,120)
の13通り。
(S-n)(1-
[1], [2], [3] の場合は同時には起こらないから, 求める場
合の数は
3+8+13=24 (通り)
-(S-1)(1
不定方程式 (p.569~)。
y0,z≧0であるから
50x≤120 これを満た
す0以上の整数を求める。
| 10y=20-z≦20 から
10y 20 すなわち y≦2
よって y=0, 1,2
10y=70-z≦70 から
10y70 すなわち y≦7
よって y=0, 1, …, 7
| 10y=120-²≦120から
20
10y≤120
44
すなわち y≦12
よって y=0,1, …, 12
和の法則
