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次の条F A, B
OP-OQ=
は 0に関し
O0000
174
「放物線C:y=x°と直線!:y=m(x-1)は異なる2点 A, Bで交わっている。
重要 例題112 放物線の弦の中点の軌跡
(1) 定数 m の値の範囲を求めよ。
mの値が変化するとき,線分 ABの中点の軌跡を求めよ。
(北海学園大)
基本10
めるのは, 点Pに歩
① 連動形形の軌た
指針> (1) 放物線と直線の方程式からyを消去したxの2次方程式(これを①とする)の特前
Pが直酸オ=1上を動
放物線と直線が異なる2点で交わる→D>0
(2) 線分 ABの中点の座標を(x, y)として,次の方針で進める。
1xとyをつなぎの文字 m で表す。
2 mを消去してx, yだけの式を求める。
このとき,(1)より mに制限がつくから,軌跡は曲線の一部になる。
PLL, 17, Q; )ム
点Qが半直線OP
式をDとすると
*2次方程式①で解と係数の関係を使う、
このことと条件(A)かく
条件X=1より, x, 1
解答
4直線yーm(x-1)は、m
値にかかわらず,点(1, 0
xーm(x-1)
(1) y=x°と y=m(x-1) から
整理すると
Cと!は異なる2点で交わっているから, ① の判別式Dに
の整標を (, )とし
進線 0P_上の点である
だし。、点Pは原点と異な
;Bから、t>0であ、
x?-mx+m=0
を通る。
ついて
D>0
D=(-m)°-4m=m(m-4)であるから
m(m-4)>0
よって
m<0, 4<m
(2) 2点A, Bのx座標は, 2次方程
式のの異なる2つの実数解 α, Bで
ある。線分 AB の中点をP(x, y)
とすると,解と係数の関係から
AOを解いて2点 A, BOx
座標を求めることもできる
が,解と係数の関係を利用
する方がずっとらく。
から +y(なた
味に +y")=4
4
e
A
P(x, y)
α+B
X=
2
4
したがって X=
x+
m
i
2
0-0小-\2、x
また,Pは直線!上の点であるから
EPは直線×=1上を動
ソ=m(x-1)=m{
m
2.
2
に デ+yー4x=
って x-2}+y°=
たがって、求める軌詞
中心が点(2, 0)、半
だし、(は、キ(0、
点は除く。
転すると、右図のよ
のから
m=2x ……
2
③に代入して整理すると
また, (1)の結果と②'から
したがって x<0, 2<x
ソ=2x°-2x
2x<0, 4<2x
つなぎの文字mを消去。
なお,@'をy=m(x-1)
に代入してもよい。
求める軌跡は
放物線y=2x°-2.x の x<0, 2<xの部分
a+_(α+B°-2aB _m'-2m
参考 ③は
ソ=
2
としてもよい。
『A, Bは放物線C上の点で
あることから。
2
2
練習 放物線C:y=x°-xと直線!: y=m(x-1)-1は異なる2点A, Bで交わってい
112 る。
(1) 定数 m の値の範囲を求めよ。
(2) mの値が変化するとき, 線分 AB の中点の軌跡を求めよ。
平面の原に
OP-00%342
は、リ=(0,
(2.177 EX74
の原点をo
