この問題で①と②の式を立てた後、点Aの位置にかかわらず成り立つことを言っているのですが、これを確かめる必要はなんですか。 教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

1 38 複素数平面上の O(0), U (u), V (z) を一直線上にない3点とする. Uを通り線分OU に 垂直な直線と,Vを通り線分OVに垂直な直線の交点を, u, vを用いて表せ. 求める交点をA(α) とすると, 右の図において OULAU, OVLAV である. よって, AはOをUのまわり a-u=px(cos 0(0) にだけ回転し、Uからの距 離を倍した点である. (pは実数) また,AはOをVのまわりにこだけ回転し、Vからの距 離を9倍した点である. (g は実数) したがって, +isin)(-u) =-piu....① a-v=qx(cos+isin)(-0) U(u) pia+giv=u-v……④ 3×v+4×v £h, V(v) =-giv...... ② ここで,AがOをUのまわりに一匹だけ回転し,Uから の距離を倍した点である場合は, a-u-p'x{cos(-)+isin (-2)}(-u) =p'iu であり, '=-かと考えると, ① の式となる. また, AがUと一致する場合は,α=u より, a-u=0 であり,① の式において, p=0 のときである. 以上より,点Aの位置にかかわらず, ① の式が成り立つ. 同様に,点Aの位置にかかわらず, ②の式も成り立つ. ①,②より, α=(1-pi) u=(1-gi)v これより, piu-giv=u-v...... ③ A(a) ここで, ③ の両辺の共役複素数をとると, p, g は実数であ るから, uv+uv-2vv i(uv-uv) に代入して, piuv-piuv-uv-vv-uv-vv pi(uv-uv)=uv+uv-2vv ここで,uv-uv=0, すなわち, uv=uv と仮定すると, uv+uv-2vv=2uv-2vv=2v(u-v)=0 となるが, 0, u, vは一直線上にないから, v=0,uvであ り, 2vu_v=0 となり矛盾する. よって, uv-uv 0 したがって, p= これを α=(1-pi) OULAU または α=u より α-uが純虚数または0とな 0-u ることから, "=pi(ヵは 実数)としてもよい。 0(0) TE V(v) piu-giv=u-v piu-giv=u-v p, g は実数より, p=p,g=g U(u) ①の式において, p<0 と考 える. (1) S A(a) より,ビ p.(-i).u-q (-i)•v=u-v | ③xu+④xu より,gをu, で表し,α=(1-gi)v に代 入してもよい。 < 0, u, ひは互いに異なる複素 数

この問題の場合、共役複素数のような解を持つのでしょうか？ また、その場合その2つの解の2次方程式は割ることで、その他の一つの解を導くことは可能なのでしょうか？ 解説と共にしていただけると助かりますm(_ _)m

解を持 星式は害 しょう ますm(_ 275*x= 1 のとき, 3x+4x² +3x-1の値を求めよ。 ただし, iは虚数 1-√2i 単位とする。 (茨城大) その2つ R2 > いただけ 答 格 回 SER C

複素数の問題で(3)が答えをそのまんま写したものですが、なんでこれをやり、どうやって答えを導いているのかを教えてください

16J 12 +3=2 (z + z)を満たす複素数z全体の集合をAとする。ただしょはる の共役複素数である。 (1) 集合 Aを複素数平面上に図示せよ。 2 A の要素2の偏角を0とする。ただし - πく0Sxとする。ZがAを動くと き、0のとりうる値の範囲を求めよ。 3) 2 が正の実数となるAの要素2の個数を求めよ。 +3-2(2き) 便報となる条作は。 13) g か正 ママ -322+ 2 ay 6of t 27, 整表信 となるのう ママ-28 - 22 +3:0 をミー2)~ -2)11 2ー)1マー) 0 2-21 1 (21F1. -oT 604 < (o7 だ"a.. 600 ミ 2Th *(いースーチーs) Th. 30 #7: 4に対応する この個認は、(り,国より。 ニ |z-2| 永複素 Zは、中じ2 才松上の円なの? よっ? 今. 1. ニ -番くくずう2 K上ドり 黄める その 個数は、20 0 ○M6(68S-S7) ~ に

上の問題をこのように解きました。 答えが違ったのですが、これは、やり方が違ったのでしょうか？ 原因を教えてください

IECK3 |3次方程式 r'+ px* + qx + 5=0の1つの解が2-iのとき,実数 p, +yi (x, y:実数)を解にもつならば, その共役複素数x,-yiも解にもつ。 ヒント!) 一般に, 実数係数の3次方程式ax'+bx?+cx+d=0が虚数解x」 難易度 ☆ CHECK1 CHECK2 CHECK3 絶対暗記問題 18 (東京電機大 * ) の値を求めよ。 講義 2 となる。 0, これも大事だから覚えておこう。 解答&解説 D.4が実数より,実数係数の3次方程式:1r°+px°+qx+5= 0が d 講義 a 2-1を解にもつならば, この共役複素数 (2+i)も解である。この他のも う1つの解をyとおくと, 解と係数の関係より =-1 3次方程式の解と係数の …(答) p 1 関係の公式: b (27)+(2ナ1)+y=FP a+B+y= a 9 C aB+By+ya = a 講等 1 (2-i)(2+i)+(21)y+y(27) = d aBy= a を使った! (2-)(2+i)y=(=5) 3 ③より,(4-)y= 15, 5y=-5 …Y= -1 -1 0より,4+[y ーP 1 *p=-3 講 のより, 4-)+4y=q, A+1-4=9 以上より,p=-3, g=1 9=1 .(答) 答) 頻出問題にトライ·4 難易度 CHECK 1 CHECK2 CHECK3 次万程式r+ax+b=0(ただしbキ 0) の1つの解をaとおくと、 他の2つの解は a?, α'になる。このとき, 次の問いに答えよ。 (1) a, bおよびaの値を求めよ。 12) nを正の整数とするとき, α"" を求めよ。 解答は P237 43 山角関数 指数関数と対数関数 微分法と積分法 刀程式·式と証明 図形と方程式 5-1|

この問題の(3)で、なぜz=x+yiと置くのでしょうか。 z1とz2が直線上の点なので、与式に代入すれば‪α‬とβの関係式を作れて、連立するだけかなと思ったのですが、考え方を教えて欲しいです。

複素平面上で、次の問に答えよ。 (4) 原点0から上の直線に下した垂線の足はz」る2となることを示せ、 (3) &を動点とするとき,(2)における 2点る,る2 を通る直線の方選まは の形に表される。ただしぇはzの共役複素数である。このとき a,Bを を中心として正の向きに Oe 23ーる」 --k (k lは実数) ア 22ーる」 (1) 3点 みが一直線上にあると あることを示せ、 2 (2) 点=ー(2+V3+i) を,点zo= だけ 6 4 回転して得られる点22。を求めよ。 Pかにおける&息えしえ念真る良奥の方規ま。 w 1 az+ Bz= 2 (3+V3) Ont mie 0 o 定めよ。 (旭川医科大·医) すなわ On re Gtonootman

マーカーのところがなぜこういうふうに式変形したのか考え方がわかりません

OOO00 16 基本例題6 複素数の絶対値と共役複素数(1) D.9 基本事項8,4 る ( スース 22 CHART OSOLUTION 複素数の絶対値 a|はlaP として扱う la=aa ….. (1) 22=|2P (3)(1), (2) の結果から, aについての2次方程式を導き, 解く。 別解 =a+bi (a, bは実数) とおき, a, bの値を求める。 (2)(z+i)(z+i)==l2+i} の利用。 解答 (1) zz=|2P=1?=1 (2) |2+il=/3 から |z+if=3 *z+ポ=(z+i)(z+j *z+i=z+i=ーi るす(実に--1 ー よって (z+i)(z-i)=3 22-iz+iz+1=3 すなわち 展開すると 22=1 を代入して整理すると (z-2)=-1 +ロ=id-pちら立0知 実 1るきケ (る -ー よって -1_-i 2ース=ー (3) 2キ0 であるから, (1)の結果より |=1 からzキ0 ス=ー これを(2)の結果に代入して スーニ= |2|=1 のとき,z=との 2 両辺にzを掛けて整理すると 22-iz-1=0 立 0 関係はよく利用される。 よって (ー) ゆえに(2--すなわち 2ー立=±2 -1=0 2 V3 す 2 る スー したがって =+ -+ V3 1 2 別解、2=a+bi (a, bは実数) とおく。 2 (実お) スース=a+bi- (α-bi)=2bi 2=a-biであるから 合「a, bは実数」の断りば 重要。 (2)より,z-2=iであるから また,|a|=1 であるから カ 2 α'+8=1 26i=i b=; を代入して -3 4 合一2ド=α'+6° 2 よって したがって V3 Q=土 2 1 3 2 PRACTICE…6 2 2 .2 2

ア〜ソの計算はわかりましたが 解答の「したがって」の後に書いてある内容が よくわからず、 おそらく共役複素数関係なのかなとは思うのですが 自分で考えても納得できなかったので 解説して頂きたいです。

TRIAL 70 複素数p+qi に対し, 実数 (か+qi)(カーqi) を記号 N(カ+qi) で表すことに する。ただし, p, gは実数とする。 N(カ+qi)=(+qi)(カ-qi) であるので, N(3-4i)=[アイ N(-2)=[ウとなる。 10) 2次方程式 ax"+bx+c=0 が虚数解か+qi をもつとき, N(カ+qi) を求め よう。ここで, a, b, cはすべて実数であり,"aキ0 である。 F(x)=ax°+bx+c とおくと F(カ+qi)=(aが°_aq"+エカ+オ)+q(カキ」カ+ク となる。ここで,F(カ+qi)=0 であることから ap-aq+ エ l9カキ]カ+ ク) %3Dコ を得る。さらに F(p-qi)=(aが_aq'+ サカ+シ)-g(スセカ+ソ) であることから, F(カーqi)=0 となる。つまり, 虚数か+qiが2次方程式 ax+ bx+c=0 の解であるとき, カーgiも解となる。 か+オ]=ケ したがって,解と係数の関係により N(b+qi)=- ダ を得る。 [15 センター試験追試 改) 数学Ⅱ

偏角の解き方がよく分からないので教えて欲しいです

次の複素数について、絶対1 中と偽名を求めなさい く複素迷の光対値> 複素英z= e+用めの「絶対値」を 賠| * Vo2 ト 2 ご定義する。 さ約対値と共役複素激> ある複素殻と共役補素数の積は絶対値の 2 乗に等しい。 このことから、共役複素数は SSNS に も でぐさの。 マ複素数の偏角> 複素数z = c+/あを複素平面上ににとったとき、正の実軸から動径までの角度を !偏多」 本いう。 部izを E (g>0) に限れば、偏角のは (9 = cdの0 さの。

電気通信大学2020前期過去問です。複素数平面です Ⅲのⅱとⅲの解法ざっくりでも何でも良いんでお願いします

づ | を虚数単位とする. また, 複素数 > に対して, z はその共役複素数を表す. このとき, 以下の [ 1], [LU], [の問いに答えよ。 (配点 50) {TI] 複素数 z に関する方程式 (2二)ヶ一(1一)z三3十32 の解を求めよ. [II] を実数とする. 複素数 z に関する方程式 (3二40z一(5十太)z=0 がを 0 となる解をもつとき, 実数 た の値を求めよ. ILI 以下では, を実数とし, 複素数平面上で2 直線 2: 9z一69を=4ー2)5 : (19(4寺9を一(1寺9はー9を=0 を考える. (i) 直線 《は実数:の値によらずに定点 A(o) を通る. 複素数 o を求めよ. (3) 2直線と のなす角9 (039るテ) を求めよ. (0 #が実数全体を動くとき, 6 と mx の交点 P(z) は複素数平面上でどのよう な図形を描くか.

この問題を教えてくださいm(__)m

4の 。 2 は要数で 〆の鎖寺人は1 とする。 このとき。 zeど18-0を半 する複素数zがあるための必要十分条件は, 8=9であることを示せ. こ こに, <, のはそれぞれz, 2 の共役複素数を表す. (京都大)