OOOO0
重要例題58 剰余の定理の利用 (3)
(1)f(x)=x°-ax+b が (x-1)? で割り切れるとき,定数a, bの値を求
めよ。
(2) nを2以上の整数とするとき, x"-1 を(x-1)?で割ったときの余り
を求めよ。
【学習院大)
基本 54
CHART
O
OLUTION
割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用
次数に注目
22 余りには剰余の定理
1
f(x) がx-1で割り切れ, 更にその商がx-1で割り切れる。
(2) 次の恒等式を利用する。ただし, nは自然数とし, α°=1, 6°=1 である。
a"-b"=(a-b)(α"-1+a"-?b+a-36+ +ab”-2+6"-1)
(1)(x-1)? で割り切れる → f(x)3 (x-1)°Q
解答
f(1)=0
10 -a
a-1 1
(1) f(x)は x-1 で割り切れるから
ゆえに
1
ーa+1
6=a-1…①
よって
1-a+b=0
天 11
ーa+1
0。
f(x)=x°-ax+a-1
=(x-1)(x°+x+1-a)
g(1)=0
したがって
)-3-3-3
←条件から, g(x) もx-1
g(x)=x°+x+1-aとすると
ゆえに
で割り切れる。
よって
3-a=0
a=3
これをOに代入して
(2)x"-1 を2次式(x-1)? で割ったときの商をQ(x), 余り
を ax+b とすると, 次の等式が成り立つ。
b=2
x"-1=(x-1)°Q(x)+ax+6
合割り算の基本公式
両辺にx=1 を代入すると
A=BQ+R
0=a+b
よって
b=-a
ゆえに
x"-1=(x-1)°Q(x)+ax-a
=(x-1){(x-1)Q(x)+a}
x"-1=(x-1)(x"ー1+x"-2+… +x+1) であるから
← (x-1)°Q(x)+a(x-1)
両辺に x=1 を代入すると
合1=x° であるから, 左辺
の項数はx°から x"-1 ま
よって
a=n
ゆえに
したがって, 求める余りは
b=-a=-n
nx-n
での n個
PRACTICE …58
