12.xyz 空間内の点P(0, 0, 1)を中心とする半径1の球面 K がある. K上の点Q (a, b, c) が条件a>0,b>0,c>1
のもとでK上を動くとき, Qにおいて Kに接する平面をLとし, Lがx軸, y軸 軸と交わる点をそれぞれA, BC
とする.このような三角形ABCの面積の最小値を求めよ.
<解説>
(87 東京大・理科 (前期))
空間図形の方程式がしっかり立てられれば△ABCの面積は求められるはず. 最小値を求めるとこ
ろは工夫が必要です.
2
球面K : x2 + y2+ (z-1)2=1上にQがあるので
a2+b2+(c-1)2=1 ⇔ @2+b2+c2=2c
①
a
平面LはPQ=
b
c-1
を法線ベクトルとするので, 方程式は
B
O
x
A
四面体 OABCの体積Vは
a(x-a)+b(x-b)+(c-1Xz-c)=0
⇔ax+by+(c-1)z=c (∵. ①)
したがって, A, B, C の座標は
A(0, 0), B(0.0), C(0, 0, 1)
1/1c
C
C3
V=-
bc-
原点Oと平面Lの距離は
|-cl
=c (∵ ①)
Va2+62+(c-1)2
よって, ABCの面積Sは,△ABC を底面として体積を考えることにより
1
·S.c=.
3
C3
6ab(c-1)
<< S=
C2
2ab(c-1)
cを固定して考えると, Sが最小となるのは2ab が最大となるときである.
①より, a2+62=2c-c2 であり, これと相加・相乗平均の関係により
a2+b2=2c-c2≧2ab (等号成立は, a=bのとき)
c²
よって, a=b のとき, Sは最小値
をとる.
(2c-c2)(c-1)
C2
f(c)=(2c-c2)(c-1)
として, cc>1で動かしたときの最小値を考える.
C
1
1
f(c)=(2-clc-1)
=
-=3+2√2
-c2+3c-2
3-c+
3-2 C·
2
等号成立は,c=-
=√2のとき
よって, 求める最小値は3+2/2
C
