四角で囲んだ部分についてなのですが、その定義というのはどういう定義ですか？ その定義から開区間で扱うという所について詳しく教えて欲しいです

356 00000 重要 例題 211 導関数から関数決定 (2) 微分可能な関数 f(x) が f'(x)=ex-1| を満たし, f(1) = e であるとき, f(x)を 基本210 求めよ｡ 指針▷>条件f'(x)=ex-1|から, f(x) = flex-1dx とすることはできな い。 まず、 絶対値 場合に分けるから x>0のとき f'(x)=ex-1 x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-e*+1 x>0のときは,A と条件f(1) = e から f(x) が決まる。 しかし, x<0のときは,条件f(1) =e が利用できない。 そこで,関数f(x) は x=0で微分可能 lim f(x) = limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 x→+0 解答 x>0のとき, ex-1>0 であるから よって f (1) = e であるから e=e-1+C ゆえに C=1 x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-ex+1 よって f(x)=f(-ex+1)dx ゆえに lim f(x) = lim f(x)=f(0) x→+0 x-0 ①から limf(x)=lim (ex-x+1)=2 ②から limf(x)=lim(-e*+x+D)=-1+D よって したがって x→+0 f'(x)=ex-1 f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (C は積分定数) =-e*+x+D (Dは積分定数 (2) f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0で連続である。 _0-1x このとき, lim lim h→+0 x→0 x 練習 1 211 lim h--0 2=-1+D=f(0) ゆえに D=3 f(x)=-ex+x+3 -=1から ex-1 したがって f(x)=ex-x+1 ...... 1 x→+0 0-1x ƒ(h)—ƒ(0) A : lim ん→+0 ƒ(h)—ƒ(0) h eh-h-1 h =lim h-0 (p.242 基本事項 ① ② ) に着目。 x=0で連続 -=0, -e" +h+1 =0 h よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。 [e*-x+1 (x≥0) 以上から f(x)={ −e³+x+3 (x<0) ....... x+x-xm-(2) y O y=ex-1 導関数 f'(x) はその定義か ら,x を含む開区間で扱う。 したがって, x>0,x<0の 区間で場合分けして考える。 x JOHAJ (x)=x (S) lim ん→-ol f(x) は微分可能な関数。 lim (e^-1-1) ++0 130 1 Ade 必要条件。 逆の確認。 p.257 も参照。 =(e^-1)+1} h ors π <x<1とする。 f'(x)=|tanx-1, f(0)=0 であるとき, f(x) を求めよ。 3 [2] 3 J Î

なぜこの問題では最後に逆の確認が必要なんですか？x^3の係数が正で、導関数f'(x)=0が異なる２つの実数解x=-1,3をもつのでx=-1で極大値、x=3で極小値をとるのは明らかだと思うのですが、、、

例題 208 極値より関数の決定 3次関数f(x)=x3+ax²+bx+c は x=-1 で極大値をとり, x=3 で極小値-25をとる. 定数a,b,cの値と極大値を求めよ. ( 足利工業大) 考え方 与えられた条件より, 増減表をかく. x=-1で極大値をとる” 10m x=3 で極小値-25をとる” ■解答 y=f(x)の増減表が右の ようになるときを考える. ()>(E\ƒ(x)=x³+ax²+bx+c また,f'(x)=0 であっても, x=αで極値をとるとは限らない。さらに,極値が極大値 (8) か極小値かの判定もできないので、 確認が必要である. f(-1)=0 で, x=-1の前後でf'(x) の符号が正か ら負に変わる。 Focus f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の 符号が負から正に変わる. ... 練習 [208] *** f'(x) + より,f'(x)=3x2+2ax+bf(x) 極大 増減表より、 f'(-1)=3-2a+b=0 -1 3 0 2 0 + 極小 -25 f' (3) = 27+6a+b=0%(1+x f(3) = 27+9a+36+c = -25 11 ①, ②, ③ を解いて, a=-3, b=-9, c=2 また,このとき, f(x)=x²-3x²-9x+2 > ......1 …. ③ f'(x)=3x2-6x+9=3(x+1)(x-3) より,増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3 で極小値-25 を確かにとる。 極大値は, f(-1)=-1-3+9+2=7 よって a=-3, b=-9, c=2, 極大値70で *** NICO y=f(x)がx=α で極値をとる f'(a)=0 f' (α)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない ① ② から α, bを 求め③に代入する。 求めたa,b,cの値 のときに x=-1 で 極大値, x=3 で極 小値-25をとるか 確かめる. 注) 例題208 で, 「x-1で極小値x=3で極大値25」という条件でも、 ① ② ③の 式が出てくるが、そのとき, 求まる a,b,c は、この条件を満たさない。 つまり①②からは x=-1, 3 で f'(x)=0 となること ③ からは点 (3, -25) を 通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である. 注 極値をとるときのxの値x=-1, 3 は、 f'(x)=0 の2つの解であることから、解と 係数の関係を用いて α, 6の値を求めてもよい。 (1) 関数f(x)=x3+ax²+bx+c は x=1で極大値2をとり, x=3で極小値 をとる. 定数 α, b, c の値を求めよ. 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるという. ま その極大値は2で極小値は-2であるという. このとき、条件を満た す関数f(x) をすべて求めよ. 1x25x1 p.389

なぜこの問題では最後に逆の確認が必要なんですか？x^3の係数が正で、導関数f'(x)が異なる２つの実数解x=-1,3をもつのでx=-1で極大値、x=3で極小値をとるのは明らかだと思うのですが、、、

例題 208 極値より関数の決定 3次関数f(x)=x3+ax²+bx+c は x=-1 で極大値をとり, x=3 で極小値-25をとる. 定数a,b,cの値と極大値を求めよ. ( 足利工業大) 考え方 与えられた条件より, 増減表をかく. x=-1で極大値をとる” 10m x=3 で極小値-25をとる” ■解答 y=f(x)の増減表が右の ようになるときを考える. ()>(E\ƒ(x)=x³+ax²+bx+c また,f'(x)=0 であっても, x=αで極値をとるとは限らない。さらに,極値が極大値 (8) か極小値かの判定もできないので、 確認が必要である. f(-1)=0 で, x=-1の前後でf'(x) の符号が正か ら負に変わる。 Focus f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の 符号が負から正に変わる. ... 練習 [208] *** f'(x) + より,f'(x)=3x2+2ax+bf(x) 極大 増減表より、 f'(-1)=3-2a+b=0 -1 3 0 2 0 + 極小 -25 f' (3) = 27+6a+b=0%(1+x f(3) = 27+9a+36+c = -25 11 ①, ②, ③ を解いて, a=-3, b=-9, c=2 また,このとき, f(x)=x²-3x²-9x+2 > ......1 …. ③ f'(x)=3x2-6x+9=3(x+1)(x-3) より,増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3 で極小値-25 を確かにとる。 極大値は, f(-1)=-1-3+9+2=7 よって a=-3, b=-9, c=2, 極大値70で *** NICO y=f(x)がx=α で極値をとる f'(a)=0 f' (α)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない ① ② から α, bを 求め③に代入する。 求めたa,b,cの値 のときに x=-1 で 極大値, x=3 で極 小値-25をとるか 確かめる. 注) 例題208 で, 「x-1で極小値x=3で極大値25」という条件でも、 ① ② ③の 式が出てくるが、そのとき, 求まる a,b,c は、この条件を満たさない。 つまり①②からは x=-1, 3 で f'(x)=0 となること ③ からは点 (3, -25) を 通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である. 注 極値をとるときのxの値x=-1, 3 は、 f'(x)=0 の2つの解であることから、解と 係数の関係を用いて α, 6の値を求めてもよい。 (1) 関数f(x)=x3+ax²+bx+c は x=1で極大値2をとり, x=3で極小値 をとる. 定数 α, b, c の値を求めよ. 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるという. ま その極大値は2で極小値は-2であるという. このとき、条件を満た す関数f(x) をすべて求めよ. 1x25x1 p.389

この問題でなぜ逆の確認が必要なんですか？x^3の係数は正なので、x=-1で極大値、x=3で極小値をもつことは明らかだと思うのですが、、、(x=-1,3で極値をもつということは、f'(x)=0は、x=-1,3を解にもち、f(x)を微分して得られるf'(x)のx^2の係数は正な... 続きを読む

376 第6章 微分法 Check 例題 208 極値より関数の決定 (足利工業大) 3次関数f(x)=x+ax+bx+c は x=-1 で極大値をとり、x=3 で極小値-25をとる。 定数a,b,cの値と極大値を求めよ. 考え方 与えられた条件より、 増減表をかく. 解答 練習 208 *** Focus x=-1 で極大値をとる f'(-1)=0 で, x=-1 の前後でf'(x) の符号が正か ら負に変わる. x=3 で極小値-25をとる” f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の 符号が負から正に変わる. また,f'(a)=0 であっても, x=α で極値をとるとは限らない. さらに, 極値が極大値 極小値かの判定もできないので、確認が必要である. x f'(x) + CAN C -1 0 y=f(x) の増減表が右の ようになるときを考える. f(x)=x^3+ax2+bx+c f(x) 極大 より、 f'(x)=3x²+2ax+b 増減表より, f'(-1)=3-2a+b=0 3 0 + 極小 -25 7 ① f'(3) =27+6a+b=0x) (1+x)-..... ② f(3)=27+9a+36+c=-25 ....... 3③ 0-1- ①,②,③を解いて, また,このとき, f(x)=x-3x2-9x+2 斬働く a=-3, b=-9, c=2 f'(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3) より 増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3 で極小値-25 を確かにとる。 値は, f(-1)=-1-3+9+2=7 よって a=-3,6=-9, c=2, 極大値7 *** (xx-y=f(x) が x=α で極値をとる ⇒ f'(a)=0 18f'(a)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない ① ② からa,bを 求め③に代入する. 求めたa,b,cの値 のときに x=-1 で 極大値、x=3で極 小値-25をとるか 確かめる. 注) 例題208 で, 「x=-1で極小値、x=3で極大値25」という条件でも、④, ② ③の 式が出てくるがそのとき, 求まる or, b,c は、この条件を満たさない。 つまり, ①, ② からは x= -1, 3 で f'(x)=0 となること, ③ からは点 (3, -25) を 通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である. 注》極値をとるときのxの値x=-1,3は,f'(x)=0 の2つの解であることから,解と 係数の関係を用いてα, b の値を求めてもよい。 例題2 関数 に、定 考え方 (1) 関数f(x)=x3+ax2+bx+cはx=1で極大値2をとり, x=3で極小値 をとる. 定数a,b,cの値を求めよ. (2) 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるというま た,その極大値は2で極小値は2であるという。このとき、条件を満た す関数 f(x) をすべて求めよ。 p.3890 よ G

この問題ではなぜ逆の確認が必要なんですか？x^3の係数は正なので、x=-1で極大値をとり、x=3で極小値をとるのは明らかだと思うのですが、、、

376 第6章 微分法 Check 例題 208 極値より関数の決定 (足利工業大) 3次関数f(x)=x+ax+bx+c は x=-1 で極大値をとり、x=3 で極小値-25をとる。 定数a,b,cの値と極大値を求めよ. 考え方 与えられた条件より、 増減表をかく. 解答 練習 208 *** Focus x=-1 で極大値をとる f'(-1)=0 で, x=-1 の前後でf'(x) の符号が正か ら負に変わる. x=3 で極小値-25をとる” f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の 符号が負から正に変わる. また,f'(a)=0 であっても, x=α で極値をとるとは限らない. さらに, 極値が極大値 極小値かの判定もできないので、確認が必要である. x f'(x) + CAN C -1 0 y=f(x) の増減表が右の ようになるときを考える. f(x)=x^3+ax2+bx+c f(x) 極大 より、 f'(x)=3x²+2ax+b 増減表より, f'(-1)=3-2a+b=0 3 0 + 極小 -25 7 ① f'(3) =27+6a+b=0x) (1+x)-..... ② f(3)=27+9a+36+c=-25 ....... 3③ 0-1- ①,②,③を解いて, また,このとき, f(x)=x-3x2-9x+2 斬働く a=-3, b=-9, c=2 f'(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3) より 増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3 で極小値-25 を確かにとる。 値は, f(-1)=-1-3+9+2=7 よって a=-3,6=-9, c=2, 極大値7 *** (xx-y=f(x) が x=α で極値をとる ⇒ f'(a)=0 18f'(a)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない ① ② からa,bを 求め③に代入する. 求めたa,b,cの値 のときに x=-1 で 極大値、x=3で極 小値-25をとるか 確かめる. 注) 例題208 で, 「x=-1で極小値、x=3で極大値25」という条件でも、④, ② ③の 式が出てくるがそのとき, 求まる or, b,c は、この条件を満たさない。 つまり, ①, ② からは x= -1, 3 で f'(x)=0 となること, ③ からは点 (3, -25) を 通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である. 注》極値をとるときのxの値x=-1,3は,f'(x)=0 の2つの解であることから,解と 係数の関係を用いてα, b の値を求めてもよい。 例題2 関数 に、定 考え方 (1) 関数f(x)=x3+ax2+bx+cはx=1で極大値2をとり, x=3で極小値 をとる. 定数a,b,cの値を求めよ. (2) 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるというま た,その極大値は2で極小値は2であるという。このとき、条件を満た す関数 f(x) をすべて求めよ。 p.3890 よ G

矢印書いたところがわかりません 途中の式教えてください

Dから 74 2点A(-3, 0, B(3, 0) からの距離の比が1:3である点Pの これを 軌跡を求めよ。 条件から、 解習 点Pの座標を(x, ) とする。 Pの満たす条件は 9AP=BP? ゆえに 逆に、 係式を導く。 AP:BP=1:3 すなわち 3AP=BP したが よって ゆえに 9(x+3°+y}%=(x-3)*+y° 1人ガン 15 整理するとデャデ+9=0 2 7 0=1 15)2 81 +y?= 16 すなわち x+ 4 よ 大 よって, 点Pは円①上にある。 逆に,円O上の任意の点P(x, y) は, 条件を満たす。 No - 逆の確認 の, したがって,求める軌跡は 中心が点 15 0, 半径が 9 4° の円 - 4 > じ e リ

この問題の、赤線から下の部分が何をしているかわからないです💦 どなたか解説をお願いします🙇‍♀️ 特に黄色のマーカーの部分が、どこから出てきた何の式なのかわからないです...。

微分可能な関数 f(x) がf(x)=\e*-1| を満たし, f(1)=e であるとき,f(x)を そこで,関数 f(x) は x=0 で微分可能 →x=0 で連続(p.242 基本事項I2)に着目。 356 OOO00 重要例題211 導関数から関数決定(2) 基本 210 求めよ。 指針>条件f(x)=le*-1|から, {(x)=(le*-1ldx とすることはできな い。まず,O 絶対値 場合に分ける から x>0のとき f"(x)=e*-1 *<0のとき f (x)=-(e*-1)=-e*+1 *>0のときは, ④と条件f(1)=eから f(x) が決まる。しかし, *<0のときは, 条件 f(1)=eが利用できない。 y=er-1 の 0 lim f(x)= lim f(x)=f(0) を利用して,f(x) を求める。 ズ→+0 ズ→-0 解答 導関数 f(x) はその定義か ら,xを含む開区間で扱う。 したがって, x>0, x<0の 区間で場合分けして考える。 x>0のとき, e*-1>0であるから f(x)=e*-1 よって f(x)=\(e*-1)dx=e*-x+C (Cは積分定数) f(1)=eであるから e=e-1+C したがって f(x)=e*-x+1 ① F(x)=-e*+1 ゆえに C=1 x<0のとき, e*-1<0であるから (x) ={(-e*+1)dx よって =-e*+x+D(D は積分定数) f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0 で連続である。 lim f(x)= lim f(x)=f(0) 4f(x) は微分可能な関数。 ゆえに x→+0 ズ→-0 のから lim f(x)= lim (e*-x+1)=2 x→+0 x→+0 のから lim f(x)= lim(le*+x+D)=-1+D x→-0 X→-0 2=-1+D=f(0) f(x)=-e*+x+3 よって ゆえに D=3 したがって A必要条件。 ex-1 このとき, lim -=1から x 逆の確認。p.257 も参照。 ズ→0 f(h)-f(0) eh-h-1 =0. lim = lim e^-1 h→+0 h h (lim h→+0 h→+0\ h f(h)-f(0) -eh+h+1 =0 lim -=lim ー(e^-1) h h (lim h→-0 h→-0 h→-0 h よって,f(0)が存在し, f(x) は x=0で微分可能である。 (x20) -e*+x+3 (x<0) e*ーx+1 以上から f(x)= 練習 π 211 <今とする。f(x)=Itan?x-1|, f(0)=0であるとき,f(x) を求めよ 2

なぜ最後に逆の確認が必要なのか教えてください

接線の方程式 377 175 直交する2曲線 heck Aaos3 1000の曲線 y- 「右の図のように, 2つの曲線 y=f(x), y=g(x)が共有点をもち,その点におけるそれ ソ=Vx, y=ear s が直交するようにaの値を定めよ、 均値 え方 それの接線が互いに垂直に交わるとき、 |2つの曲線は直交する という、 /y=f(x) 33 姿線 共有点のx座標をtとおいて,次のことに着目する。 y=g(x) 点を共有している F(t)=g(t)) 2つの曲線 y=Vx 0, y=e"x ②の共有点の x座標をtとおく、 f(x)=x とすると,f(x)=。たより,①の共有点 接線どうしが直交する (f(t)g(t)=-1) m m。 レートより 強関 となる。 然 合 x) ) 2Vx 1 (eー月9 の動世平 bge=.logt-0 1+gす持 厳 における接線の傾きは, f(t)=2t , g'(x)=aeae より, ②の共有点に g'(t)=aea g(x)=e" とすると, おける接線の傾きは, 0と2の曲線が直交するのは,共有点における接線が直 交するときであるから, (t).g'(t)=-1 となり 1 たして。 2直線が垂直に交わ 1 *aeat=-1 るとき,2直線の傾 きをm, m' とすると, より, 2t また,①, 2より, mm'=-1 共有点の座標は,O より,(t, VE), 2より,(t, e")で VE =et これを③に代入して, 第6章 =-1 *av 2t 54=-1 より。 y=Vx/ 49 これが一致する。 a=-2 > 逆に a=-2 のとき,④を満た す共有点(t, /E)が存在し,③も 満たす。 よって、 ーー2 Focus さる y=e-2x ー 7 2つの曲線 y=f(x), y=g(x) が直交する 2つの曲線の共有点におけるそれぞれの接線が互いに直交する 共有点のx座標をtとすると,f(t)=g(t), f'(t).g'(t)=-1 を

数学の質問です。写真の、赤星をつけた部分2箇所について質問です。 まず一つ目ですが、〔2〕が全体的に何を言ってるのか理解できません。x＝0の時の軌跡を求めてるってことですか？また、何のためにmを求めたんでしょうか？ 二つ目として、「mがどんな値をとっても、①はx＝0を表... 続きを読む

172 重要 例題111 2直線の父 mが実数全体を動くとき, 次の2直線の交点Pはどんな図形を描くか、 指針>交点Pの座標を求めようと考え, 0, ② をx, yの連立方程式とみて解くと 検討軌跡の逆の確認と除外点について 画例題111の解答で得られた軌跡の方程式 (x-1)?+ 173 x+my-m-230 2 (*)から, ①, ② mx-y=0… の を導いてみよう。 ここで,(*)は x*+y-2x-y=0 … 3 と同値である。 m(m+2) ソ= m+1 ーのから y=mx m+2 オ+ゾ-2-2=0 これをのに代。 x x オー この2式から mを消去してx, yの関係式を求めようとする上 そこで、交点Pが存在するための条件を考えてみよう。 計算が大変。 l xキ0のとき, ③の両辺をxで割ると のとおくと x+my-m-2=0 となり, ② の式が得られる。 mの値を1つ定めると, 2直線①, ②が決まり,2直線 ①, ② の交点Pが定まる。 また,のから mx-y=0 となり,①の式が得られる。 以上のことと解答の[1] から, xキ0のとき(Oかつ2)→ (*) が成り立つ。 [2] x=0 のとき, ③ から ゆえに,x=0 のとき (*) ←→(x, y)=(0, 0) または(x, y)=(0, 1) ここで,(x, y)=(0, 0) のとき, 2から (x, y)=(0, 1)のとき, ① が成り立たず,② から m の値を定めることもできない。 よって,(x, y)= (0, 0) → m=-2 → (① かつ 2)であるが、 2=m x m=0のとき x=2, y=0 m=1のとき 3 X= これを解くと y=0, 1 例えば yーy=0 2,=3 2 であるから,点(2, 0), (,)は求める図形上にある。これを逆の視点で発え 2直線0, 2の交点Pが存在するならば、①,② をともに満たす実数 m 竹 ゆえに,連立方程式 0, ② の解が存在する条件 と捉える。すなわち、 ① を満たす。 m=-2 また,Oも成り立つ。 3章 18 ということになる。 (x. y)= (0, 1) → (0かつ2)は成り立たない。 のの式を満たすと考え, ①, ② から mを消去しx, yの関係式を導く。 なお, mを消去するため,①をmについて解くときに,xキ0 とx=0の場合分け となる。軌跡を答えるときは, 除外点にも注意が必要となる。 (のかつ2) =→(*) は成り立つが,(*)= (①かつ(②) は成り立 な s ゆえに,x=0 のとき たない。 本がって、(*)の表す図形から点 (0, 1)を除外したものが,直線 ①, ②の交点の軌跡と同1じ になる。 解答 P(x, y) とすると, x, yは①, ② を同時に満たす。 [1] xキ0のとき イm=メ を利用すること 検討)図形的に考える x I 0から カミ X 別アプ 重要例題111の直線① は常に原点0を通る。 また,直線2は,その方程式を変形すると, x-2+m(y-1)=0 となるから,常に点 A(2,1) を通る。 ここで,2直線0, ② の係数について、 m·1+(-1)m=0 ら,xキ0 とx=Dの 分けて考える。 ローチ のに代入して そ y. x x 両辺にxを掛ける。 分母を払って x*+y?-2x-y=0 の (ージ+(yー)ー すなわち 5 4中の(1 ) 2 であるから,2直線 ①, ② は垂直に交わり ZOPA=90° である。 のにおいて,x=0 とすると ゆえに,xキ0のとき,点Pは円③から2点(0, 0), (0, 1) を除いた図形上にある。 [2] x=0のとき メ=0, y=0 を②に代入すると ソ=0, 1 イxキ0 であるから,xl ときの点は,除外点と よって、求める図形は、線分 OA を直径とする円である。 ただし,m がどんな実数値をとっても①は直線x=0 を表さず, ②は直線y=1を表 すことはない。 0から y=0 したがって,2直線 x=0, v=1 の交点(0, 1)に点Pが重なることない。 [(★):b.161 の(*) 参照。] m=-2 よって,点(0, 0) は m=-2のと きの2直線の交点である。 以上から,求める図形は 『オ=0, y=0が0, 0t たすための実数m する。 除外点 1 2 円(x-1ジ+(ー= ただし、点(0, 1)を除く。 練習|kが実数全体を動くとき, 2つの直線 .: ky+x-130, la:y-kx-k=0の交点 111| はどんな図形を描くか。 0 1 2 x 【類立教大) 軌跡と方程式

x=0で微分可能と書いてあるのですが、この場合はxがどの値でも微分可能だけど、計算しやすいからx=0で計算してるんですか？

重要 例題211 導関数から関数決定(2) 2 O000 微分可能な関数f(x) がf(x)=le*ー1| を満たし, f(1) =eであるとき、 求めよ。 y 指針>条件f(x)=le*-1|から, f(x)=}le*-1|dx とすることはできた Sい。まず, O 絶対値 場合に分ける から x>0のとき f(x)=e*-1 x<0のとき f(x)=-(e*-1)=-e*+1 x>0のときは, ④と条件f(1)=eからf(x) が決まる。しかし、 *く0のときは,条件(1)=eが利用できない。 A 0 そこで,関数f(x) は x=0 で微分可能 →x=0 で連続(p.242基本事項山のに lim f(x)= lim f(x)=f(0) を利用して,f(x)を求める。 … x→-0 x→+0 解答 導関数f(x) はその定 ら,xを含む開区間でっ。 したがって,x>0, x<n) 区間で場合分けして考え。 えくotなのに f(x)=e*-1 x>0のとき, e*_1>0 であるから よって f(x)=\(e*-1)dx=e*ーx+C (Cは積分定数) f(1)=eであるから e=e-1+C したがって f(x)=e*-x+1 f(x)=-e*+1 の ゆえに C=1 x<0のとき, e*ー1<0であるから たからつかうはし 名OF よって ー d =-e*+x+D (Dは積分定数) f(x) はx=0 で微分可能であるから, x=0 で連続である。 lim f(x)= lim f(x)=f(0) f(x)は微分可能な関数。 久 とこでとか きかんけい ゆえに x→+0 X→-0 ①から lim f(x)= lim (e*-x+1)=2 Y→+0 x→+0 2から lim f(x)= lim(e*+x+D)=-1+D X→-0 x→-0 2=-1+D=f(0) f(x)=-e*+x+3 よって ゆえに D=3 したがって 必要条件。 このとき, lim ex-1 =1から 「逆の確認。か.257 も参照。 x→0 x f(h)-f(0) eh-h-1 -=0, h lim lim h→+0 ん h h→+0 h→+0 f(h)-f(0) ーeh+h+1 =0 をする lim lim (lim h→-0l h→-0 h よって,f(0) が存在し, f(x) は x=0 で微分可能である。 0 0 (x20) h→-0 以上から f(x)= e*-x+1 1-e+x+3 (<0) mle 練習 211 ;くxくとする。 f(x)=ltan?r=1lf0=0であるとき,