Question

みあん

この問題の、赤線から下の部分が何をしているかわからないです💦
どなたか解説をお願いします🙇‍♀️
特に黄色のマーカーの部分が、どこから出てきた何の式なのかわからないです...。

微分可能な関数 f(x) がf(x)=\e*-1| を満たし, f(1)=e であるとき,f(x)を
そこで,関数 f(x) は x=0 で微分可能 →x=0 で連続(p.242 基本事項I2)に着目。
356
OOO00
重要例題211 導関数から関数決定(2)
基本 210
求めよ。
指針>条件f(x)=le*-1|から, {(x)=(le*-1ldx とすることはできな
い。まず,O 絶対値 場合に分ける から
x>0のとき f"(x)=e*-1
*<0のとき f (x)=-(e*-1)=-e*+1
*>0のときは, ④と条件f(1)=eから f(x) が決まる。しかし,
*<0のときは, 条件 f(1)=eが利用できない。
y=er-1
の
0
lim f(x)= lim f(x)=f(0) を利用して,f(x) を求める。
ズ→+0
ズ→-0
解答
導関数 f(x) はその定義か
ら,xを含む開区間で扱う。
したがって, x>0, x<0の
区間で場合分けして考える。
x>0のとき, e*-1>0であるから
f(x)=e*-1
よって
f(x)=\(e*-1)dx=e*-x+C (Cは積分定数)
f(1)=eであるから
e=e-1+C
したがって f(x)=e*-x+1 ①
F(x)=-e*+1
ゆえに
C=1
x<0のとき, e*-1<0であるから
(x) ={(-e*+1)dx
よって
=-e*+x+D(D は積分定数)
f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0 で連続である。
lim f(x)= lim f(x)=f(0)
4f(x) は微分可能な関数。
ゆえに
x→+0
ズ→-0
のから
lim f(x)= lim (e*-x+1)=2
x→+0
x→+0
のから
lim f(x)= lim(le*+x+D)=-1+D
x→-0
X→-0
2=-1+D=f(0)
f(x)=-e*+x+3
よって
ゆえに
D=3
したがって
A必要条件。
ex-1
このとき, lim
-=1から
x
逆の確認。p.257 も参照。
ズ→0
f(h)-f(0)
eh-h-1
=0.
lim
= lim
e^-1
h→+0
h
h
(lim
h→+0
h→+0\
h
f(h)-f(0)
-eh+h+1
=0
lim
-=lim
ー(e^-1)
h
h
(lim
h→-0
h→-0
h→-0
h
よって,f(0)が存在し, f(x) は x=0で微分可能である。
(x20)
-e*+x+3 (x<0)
e*ーx+1
以上から
f(x)=
練習
π
211
<今とする。f(x)=Itan?x-1|, f(0)=0であるとき,f(x) を求めよ
2

微分