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・基本3.6
P
る多項式
21
基本 例題 8 無理方程式・無理不等式の代数的な解法
次の方程式、不等式を解け。
00000
(1)√x2-1=x+3
(2) √25-x2>3x-5
基本7
指針
ここでは,グラフを用いずに代数的な方法で解く。 平方して
なるが,Aに対し √A≧0, A≧0 であることに注意する。
をはずす 方針と
1
章
① 分数関数・無理関数
は成り
A=B
からは
(1) 前ページの基本例題7 (1) と同様。 両辺を平方した方程式の解が最初の方程式を
満たすかどうかを確認するようにする。
(2) まず,(√内の式) 0から、xの値の範囲を絞る。 次に, 3x-5 < 0, 3x-5≧0で
場合分け。 A≧0, B≧0 のときA>B⇔A> B2 が成り立つ。
(1) 方程式の両辺を平方して
x2-1=(x+3)2
解答
これを解くと
x=-
5
3
これは与えられた方程式を満たすから,解である。
2
(x+5)(x-5)≤0
よって
-5≤x≤5..... ①
(2) 25-x20 であるから
[1] 3x-5<0 すなわち ①から-5≦x</
のとき
参考 グラフの利用。
(1) y=√x2-1 … A とす
ると,y20 で, y2=x²-1
から x²-y2=1 よっ
て Aは双曲線x2-y2=1
のy≧0の部分を表す。
(2) 同様に考えると,
y=√25-x2
Bは円
x2+y2=25のy≧0 の部分
を表す。
これらのことを利用すると,
グラフを用いて解を求めるこ
ともできる。 例えば, (2) では,
の次の図でグラフの上下関係に
注目する。
見る
25x20 であるから, 与えられた不等式は成り
立つ。
5
[2] 3x-50 すなわち ① から
≤x≤5
3
←
今なれと
とき
不等式の両辺は負ではないから,平方して
0
(2)
YA
y=3x-5
5
25-x2>(3x-5)
(B)
5
整理して
x2-3x < 0
ゆえに
0<x<3
3
-5
0
35 x
5
よって, ③ から
......
(4
-5
-5≤x≤3
検討
≦x<3
3 0
求める解は,②, ④を合わせた範囲で
無理方程式・無理不等式に関する同値関係
一般に,次の同値関係が成り立つ。
[1] √A=B⇔A=B2, B≧0
[2] √A<B⇔ A<B°, A≧0,B>0
A=B2が成り立てば A≧0
[3] √√A>B⇔ (B≧0,A>B2) または (B < 0, A≧0)
(1)[1](2) [3] を利用して解くこともできる。 例えば, (1) は,x2-1=(x+3)2 から求
めたxの値が x+3≧0 を満たすかどうかを調べるだけでもよい。
練習 次の方程式、不等式を解け。
[(1) 千葉工大, (3) 学習院大]
D-
630
③_8__ (1) √x+3=12x|
(2)√4-x^2≦2(x-1)
(3)√4x-x2>3-x
p.23 EX5
