素因数が2,3,5である合成数により作れる整数は1、2の倍数、3の倍数、5の倍数、6の倍数、10の倍数、15の倍数、30の倍数です。
たくさん種類があり大変そうです。
ちょっと見方を変えます。
l,m,nは自然数なので1以上です。
ここで、l=l'+1,m=m'+1,n=n'+1…①,0≦l',0≦m',0≦n'と設定します。
N=2^l・3^m・5^n=30・(2^l'・3・^m'・5^n')
上式の()内をN'と置くと、30≦N≦500より
30≦30・N'≦500つまり1≦N'≦50/3=16.6…
N'は正の整数なので、1≦N'≦16を満たすような非負整数l',m',n'の組を数えれば良いことになります。
(l',m',n')=(4,0,0),(3,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)(0,0,0)の計12通り。
①の関係式より、l',m',n'の値に対してl,m,nはそれぞれ1体1に対応するので、同じく条件を満たすl,m,nの組は12通りです。
したがって求める総和は
30(16+8+4+12+2+6+10+9+3+15+5+1)=30・91=2730
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あとは、定石として条件の厳しいものから絞ると良いので、最も大きい素数の5がいくつ含まれるかで場合分けしてもいいと思います。
つまり、5^nについて、n=1,2,3のときで場合分けです。