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数列{an}が,a1=-1, 22ak=3an+1-2an-1 (n=1, 2, 3, …) を満たすとき,
(1) az を求めよ.
(2) 3an+2-7an+1+2an=0を示せ.
を求めよ.
(3) an
●10 和と一般項の関係, 3項間漸化式
Sn を含む漸化式は, 「an=Sn-Sn-1(n≧2)」.....☆ を用いて, So を消去し, an
an=Sn-Sn-1
だけの漸化式に直す. ☆は一般にはn≧2のときのみに通用することに注意 (n=1 とするとn-1=0
になってしまう!). n=1のときは, α = S1 を用いる.
an+2+pan+1+gan=0
an+2+pan+1+gan=0 の一般項を求めるには、x+px+q=0の解α, B を
用いる。 解と係数の関係より、カニー(a+β),a=aß. よって, an+2-(a+B)an+i+aBa„=0.これを
an+2-aan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=a(an+1- Ban) と変形する.
a=βのときは, an+2-αan+1=α(an+1-αan)より, an+1-can=q"-1(a2-aa)として,
an+1=aan+san-1(s=a2-aa1). これを α"+1で割り, bn=an/a" とおくと{bn}は等差数列になる.
解 答
12
Sh= Zak とおくと, Sn=3an+1-2an-1
(1) ① でn=1 とすると,2S1=3a2-2a-1
S=q=-1だから, -2=3a2+2-1
.. az=-1
(2) ① のnを n +1 にすると,2Sn+1=3an+2-2an+1−1
②-①より, 2an+1=3an+2-3an+1-2an+1+2an
④より, an+1
∴.3an+2-7an+1+2an=0
7
(3) (2)より, ax+2/1/30m+1+1/30m=0
[右の傍注に注意し] ③を変形して
an+2-2an+1 ·(an+1-2an)
⑤ より, an+1
よって,
an+2¯
=
n
k=1
1
3
3
\n-1
1-20, =(1/2)^'(a2-241)=(1/2)"^'(-1+2)=(1/2)*^^
3
2n-1(02-1/241)=2"-1(-1+1/3)=(-/23)
3
an=2n-1
a2
3
3
2
+-³ × (2-6) - {( - )
an=
(⑦⑥)
5
3
・④, an+2'
・2n-1_
(山形大工/一部省略)
1
5
:- =— an+1=2(an+₁ — — ₂)
-an
3
'-(1/2)^2}=1/{2n+(1/8)^2}
|2"+
J・2n-1
10 演習題 (解答は p.76 )
←Sn+1-Sn=an+1
7
2
③ェー -x+ -=0の解は
3 3
(2) (13) 0により.
x=2,
1
3
3
← ④ より {an+1-2an}は公比
等比数列.
