赤いとこはなぜそうなるんですか？

11 カ- 8(n-1) |199 nを3以上の自然数とするとき,次の問に答えよ。 0< 5% 82(n-1) したがって 11 ら第n 0< 5 8(n-1) 1 ここで, =0 であるから n = 0 lim 5" それ がを3以上の自然数とするとき,次の間に答えよ。 n(n-1)(n-2) (1) ん>0 のとき, (1+k)”> -パが成り立つっことを証明せ 6 よ。 2° (2) (1) の不等式を用いて, lim を求めよ。 n→o 32 V

(１)は増減表のxに０とあと何を入れたらいいのでしょうか、あと(２)(３)はわからないので教えて頂きたいです🙏

課題2 I (1) f(x) = e* -x の x20 における最小値を計算し, x20において, exZxとなることを示せ。 (2) 数学的帰納法により, 全ての自然数nで, 以下が成り立つことを示せ。 x20において, ex2ニxm ※ヒント:g(x)=e* -ニx" を微分してみると,. n! ※数学的帰納法に不慣れな人は, e*N-x?, ex 2ニx3 を順に示すのでもOKとします。 (3)(2)を用いて, どのような自然数kについても lim x* :0 が成り立つことを示せ、 X→O ex ※ヒント: はさみうちの原理

数学について質問です。 (2)番の記述はこれでもいいでしょうか？

基礎問 45 はさみうちの原 ものとする.このとき, 次の(1), (2), (3)を示せ。 に対して,0<an<3 に対して,3-ans (2) n=1, 2, 3, … に対して, 3-a,S()(3-a) (3) lim an=3 1→0 (1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき, ま ず,帰納法と考えて間違いありません. (2)これも(1)と同様に帰納法で示すこともできますが,「<」→ 「=」としてみると, 等比数列の一般項の公式の形になっています。 (3) 44のポイントの形になっています。 臭いプンプンというところでしょう。 精講 解答 (1) 0<an<3 …0 を帰納法で示す。 (i) n=1 のとき, 条件より 0<a<3 だから, ①は成りたつ. (i) n=k (k>1)のとき,Q<a<3 と仮定すると, 1<ax+1<4 じゃない 2<Cu -2<ax+1<3 このクに もってく よって, 0<ak+1<3 が成りたつ。 (i), (i)より, すべての自然数nについて, ①は成りたつ。 (2) an+1=1+/1+an →3-an+1=2-V1+an 《まず, 左辺に3-an+1 右辺=2-V1+an)(2+/1+an) 2+/1+an をつくると 右辺にも3-an がでて 3-an 2+1+an くる 1</1+an<2-→3<2+\1+an<4 (1)より 4 2+/1+an 3 3-an>0 だから, 3-an く <号(3-a) : 3-an+1<(3-an)

4番、ヒントをどう使えば良いのかわかりません。 2つを1つにする？のでしょうか

練習問題 5 はさみうちの原理を用いて、以下の極限を計算せよ lim n I n lim れ→o(-2) ※ lim-=0 は用いてよい n→0 mxsin(60°xn) lim n→o れ?+1 n+ lim ※ヒント: m n 8tu n+ n+1, nSn+()Sn+1 21 3

途中過程と答えをお願いします。

ケ~0 (9+1)!!

なぜ絶対値をつけるんですか 絶対値をつけるとグラフの形が変わって、極限値も変わってしまいませんか？ 緑線の部分です

e 微分係数と導関数 33 Check 連続と微分可能 例 題 150 x°sin (xキ0) 関数S(x)= 0 は、x=0 で連続か. また, x=0 で (x=0) 微分可能か、 考え方 連続も微分可能もそれぞれ定義に戻って考える。 (連続) f(x) が x=a で連続 → limf(x)==f(a) く微分可能〉 f(x) がx=a で微分可能 → f(a)=lim f(a+h)-f(a) メーロ h→0 h が存在する とき「微分可能であれば連続」であるが,「連続であっても, 微分可能とは限らな い」ことに注意する。 0s sin- =1, x>0より。 0Fsin 解答 *キ0 で lim f(x)=f(0) であるか確 ズ→0 かめて、x=0 で連続かと うか調べる。 x*>0 より,各辺にxを 掛けても,不等号の向きは limx=0 より, 2sin x 0 ズ→0 ズー0 したがって, lim f(x)=limx'sin =0 変わらない。 x→0 x→0 x 各辺をx→0として極限 をとり,はさみうちの原理 を利用する。 f(0)=0 より,lim f(x)= f(0) となり、 ズ→0 関数f(x) は x=0 で連続である。 f(0+h)-f(0) 次に、 lim h→0 h x=0 で微分可能かどうか 調べる。 1 h'sin -0 h =lim |y=f(x) h→0 h =limhsin 1 ……の 0 h→0 h 0Shsin- Sal, limlカl=0 より, ①は、 klol h→0 limhsin -=0 h→0 (0)=0 ( よって,f'(0) が存在するので, 関数 f(x) は x=0 で微分可能である。 )x=a で連続であることとは別に x=a で微分可能であることを示す必要がある。 練習 150 (xキ0) xsin 関数 f(x)= は, x=0 で連続か. また, x=0 で微分可能 0+(x=0) →p.33 i ginz ト 「NOILIO 417

数3 極限です 二項定理を使った証明が分かりません 画像の(1)です

184 基本 例題106 数列の極限 (5) はさみうちの原理2 OO000 基本 nはne3の整数とする。 無限等比数 1 (1) 不等式2">-バが成り立つことを、二項定理を用いて示せ。 (2) lim の値を求めよ。 ()の極 基本 105 指針>(1) 2=(1+1)"とみて、 二項定理 を用いる。 (a+b)"=q"+.Cia""'b+.C:a"""が+ +.C.-iab-+が (2) 直接は求めにくいから、 前ページの基本例題 105同様、はさみうちの原理を用い る。(1)で示した不等式も利用。 解説 数列a, ar 初項r、公 く数列{ [1] rン 二重定 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) n3のとき 2*=(1+1)"=1+,Cit«Ca+ +Ca-1+1 n=1,2の場合も不等式は 成り立つ。 h>0 21+n+(nー1)+n(n-1)(nー2) 42"21+.C+CataCo (等号成立はn=3のとき) パ+ーn+1> 1 よって >が (2)(1)の結果から 6 0< 2* 各辺の逆数をとる。 よって キ 0< 2* lim 6 =0であるから 各辺にが(>0)を掛ける。 よ lim はさみうちの原理、 【4] 振影 0=

黄色のハイライトからピンクのハイライトへの式変形が理解出来ません。(写真2枚目) わかりやすく教えていただきたいです🙇🏻‍♀️

関数げ(x)を次のように定義する。 Jonda 本品 C1-c0s% 1 x40のとき) f}= 0 (2)f'12)を求めま。 (a=0のとき) *#0のとき 高の微分より fla)- X sina 1+ c0S8 だ? A 44 X-0 aとき frx) 与えけれた式は 「原、意を通るといっている け!(スこ0)(1点)のとき fm)-0だから点な感している。 f(2)=4 <肉数じゃなくて点! f(2): 200 関数ではなくて点(値)を微か したらダメ! 20 X=00ともの園数がなかったら (生分の定義を使って計算あればしい。 そもをも0のときって微分可能? 0以9トはどんなクラフかれからない 問題で1火こ0のとき). いってい3から1点,ちなめ 京を指している。そを作欠 したら×!! マ徴可能かどうがわからない。 0

(5)について質問です。解答では2が答えになっていますが、私は(3)の答えより2と4が答えだと思います。私の何が違うのでしょうか。

○2 f(z)=22 とし, 数列 {a,} を a=1, an+1=f(an) (n=1, 2, …) / によって定める。 (1) anくan+1 (n=1, 2, …) を示せ. (2) an<2(=1, 2, …) を示せ。 (3) f(z)=zをみたす:を求めよ。 (4) f(a)=aのとき, α-an+1< alog2 -(αlan) (n=D1, 2, …) 2 が成り立つことを示せ。 (5) lim an を求めよ. ただし, e>2であることは証明なしに用いてよい. n→o (大分大·医/(5)のただし書きを変更) ン し

(2)ですが、直感的にn→∞のとき、0を∞回足してるようと思い、はさみうちの原理を使うまでもなく0だと思ったのですが、記述でははさみうちの原理を用いなければならないのでしょうか…？

の 極限 183 基本 例題105 数列の極限 (4) はさみうちの原理1 COS nπ (1) 極限 lim を求めよ。 72→00 1 (2) an= 1 n?+2 1 とするとき, liman を求めよ。 n+1 n?+n →0 4章 AD.174 基本事項 [3] 指針> 極限が直接求めにくい場合は、はさみうちの原理 の利用を考える。 14 数 はさみうちの原理 すべてのnについて anハC<b, のとき 列 lim a,=lim b,=α ならば limc,3Dα (不等式の等号がなくても成立) カー カ→ n→0 COS n元 (1) anS 77 くbnの形を作る。それには, かくれた条件 -1<cos0<1 を利用。 THAHO におき換えてみる。 11 (2) く(k=1, 2, ……, n) に着目して, a,の各項を一 n+k CHART 求めにくい極限不等式利用で はさみうち 解答 1。 1 COS nπ (1) -1%cosnπ三1であるから 各辺をnで割る。 n n n 『 lim--=0, lim =0であるから COS nT lim はさみうちの原理。 =0 2-0 n n→ n u o-4 1 (2) く(k=1, 2, …, n) であるから n*+k>n°>0 n+k n 1 1 An= n+1 n?+2 n+n 1 1 1 *n= 2 n? 各項を でおき換える。 n n n' 1 よって 0<a.<- lim =0であるから liman=0 40SlimanS0 れ→0 n→0 n→0 7 mgtamiz 検討はさみうちの原理を利用するときのポイント はさみうちの原理を用いて数列 {cn} の極限を求める場合, 次の ①, ②の2点がポイントとなる。 0 anSCnSb,を満たす2つの数列 {an}, {6,} を見つける。 2つの数列 {a}, {6,} の極限は同じ (これを αとする)。 なお, ① に関して, 数列 {an}, {bn} は定数の数列でもよい。 0, ②が満たされたとき lim c,=α (2 n→0