○2
f(z)=22 とし, 数列 {a,} を
a=1, an+1=f(an) (n=1, 2, …)
/ によって定める。
(1) anくan+1 (n=1, 2, …) を示せ.
(2) an<2(=1, 2, …) を示せ。
(3) f(z)=zをみたす:を求めよ。
(4) f(a)=aのとき,
α-an+1<
alog2
-(αlan) (n=D1, 2, …)
2
が成り立つことを示せ。
(5) lim an を求めよ. ただし, e>2であることは証明なしに用いてよい.
n→o
(大分大·医/(5)のただし書きを変更)
ン し
24
(1)と(2)は数学的帰納法で示す。ここではま
とめて証明する.
(3) グラフを描くと,交点が2個あることがわかる
(注も参照).答えを見つけよう.1つは,(2)の過程か
らェ=2.
2
(4)平均値の定理を用いる。
解 f(x)=22
a=1, an+1=f(an) (n=1, 2, …)
(1)(2) 数学的帰納法を用いて an< an+1<2…
を示す。
1
*n=1のとき, az=f(a)=22=/2 であるから,
1</2<2すなわち aくaz<2となって☆は成り立つ。
* n=kのとき☆が成り立つとする.f(x)は増加関数
であるから,
f(a)<f(as+1)<f(2)
ここでf(2)=2'=2 であるから, ①は ag+1< ae+2<2
よって,☆はn=k+1のときも成り立つ.
以上で示された。
(3) y=f(x)と y=zのグ
ラフは右図のように2点で交
わるので, f(z)=xをみたす
分区
リ=f(x)=2
(イ
4
リ=x
代
(2
rは, エ=2, 4
(4) ☆と(3)より
,<2Saであるから, 平均
値の定理より,
f(a)-f(a,)
2
倍
0
2
4
-=f"(c)…②, an<c<a
α-an
を満たすcが存在する。
f(z)=(2zlog2)=
f(z)log2
で
とc<a,
2
2
(a)=aより,
f(c)log2_f(a)log2 _ alog2
F(c)=
2
2
2
となるので,これと②から
f(a)-f(an) alog2
a-an
2
f(a,)= an+1 と ala,>0から,
alog2
α-an+1<
2
-(αlan)
(5) でα=2とすると,
2-an+1<(log2) (2-am)
これを繰り返し用いると,
2-aく(log2)"-1 (2-a)
e>2より 0<log2<1であるので,
lim (log2)"-1 (2-a)=0
al
1→0
一方,☆より 0<2-anだから, はさみうちの原理に
より,lim (2-an) =0
カ→0
よって, lima,=2
y=f(x)|
リ=X
Y4
中注 y=f(x)のグラフは
下に凸であるから, y=f(x)
とy=ェの交点は多くても2
個である(答案ではこれを
述べる必要はないだろう).
従って,f(z)=ェをみたす
rが2個見つかれば, 他に
はないと言える。
また,a2, @3,
4,→2(n→0) となることも納得できる。
2
0
142-a3
II
a1
4
を図のように作図すれば,
n→∞のとき、∞に発散の間違いでした。