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数学 高校生

黄色マーカーのところが各群の最初の数の分子を表しているのは分かったのですが、どのようにしてこの式が出てくるのか分からないので教えてください🙇

454 基本 例題 30 群数列の応用 1 2 3 1'2'2 ' 43 5 6 7 8 9 10 11 3 9 4'4' 3' 00000 4'4'5' の分数の数列について、 初項から第 210 項までの和を求めよ。 × [類 東北学院大] 指針 分母が変わるところで区切りを入れて,群数列として考える。 分母: 12,23, 3, 34, 44, 45, 1個 2個 3個 4個 ****** 第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。 分子: 12,34, 5, 67, 8, 9, 10 | 11, ...... 分子は, 初項1, 公差1の等差数列である。 すなわち, もとの数列の項数と分 は等しい。 まず第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。 分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。 10 | 11 9 34 5 6 7 8 4'4'45' 23'3'34' 解答 第1群から第n群までの項数は 1+2+3+…+n=1/21n(n+1) 第210項が第n群に含まれるとすると もとの数列の第項は 分子が k である。また 第群は分母がんで、 個の数を含む。 これから第n群の最 の数の分子は 重要 自然数 (1) 有 然料 (2) る よって (+8)=808(1+n(n+1) (n-1)n<210≤n(n+1) (n-1)n<420≦n(n+1) ...... ① (n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 である から ①を満たす自然数n は n=200URS また,第 210 項は分母が 20 である分数のうちで最後の数 である。 ここで,第n群に含まれるすべての数の和は ・・20・21=210 一般込 1/17 121/12n(n-1)+1}+(n-1) 1)÷1 n = n(n²+1)÷n=n²+1 ゆえに、求める和は 20k2+1 2 は第群の数の分 子の和 等差数列の和 1 20 20 n{2a+ (n-1)d) k=1 2 k² +Σ 1/20-21.41 k=1 k=1 ++ 20 ) =1445

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数学 高校生

ここでの逆の確認とは何を確認しているのですか?

重要 例題 131 導関数から関数決定 (2) 00000 | 微分可能な関数f(x) がf'(x)=lex-1 を満たし, f (1) = e であるとき,f(x)を 2 基本 求めよ。 0=(x)4 基本130 指針 条件f(x)=lex-1から,f(x) =flex-1|dx とすることは できない。まず、 場合に分ける から 絶対値 y=ex-1 p.22 2 x>0のときf'(x)=ex-1 A x<0 のとき f'(x)=-(ex-1)=-ex+1 x>0のときは,Aと条件f(1)=e から f(x) が決まる。 しかし,x<0のときは, 条件f (1)=e が利用できない。 そこで,関数f(x)はx=0で微分可能x=0で連続 (p.106 基本事項 ②)に着目。 =1 + 0 limf(x) = limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 +0 X-0 f'(x)=ex-1 x>0のとき,e-1>0であるから 解答 よってf(x)=f(ex-1)dx=e-x+C (Cは積分定数) ...... ゆえに C=1 ① 240 = f (1) =e であるから e=e-1+C したがって f(x)=ex-x+1 x<0 のとき,ex-1<0 であるから 導関数f'(x) はその定義 から,xを含む開区間で 扱う。 したがって, x>0, x0 の区間で場合分け して考える。 以 よってf(x)=f(-exx f(x)=-x+1) =-ex+x+D (Dは積分定数) f(x)はx=0で微分可能であるから, x=0で連続である。 ゆえに limf(x) = limf(x)=f(0) x+0 x-0 limf(x)=lim(ex-x+1)=2 ①から x+0 x+0 ② から lim f(x)=lim(-ex+x+D) = -1 + D x-0 2=-1+D=f(0) f(x)=-ex+x+3 (1) AGR-C f(x)は微分可能な関数。 x-0 よって ゆえに D=3 したがって 必要条件。 ex- このとき, lim =1から 逆の確認。 121 も参照。 x→0 x f(h)-f(0) lim =lim ん→+0 h h→+0 e-h-1 h =0, ◄lim (1-1) f(h)-f(0) -e+h+1 lim = =lim =0 lim 0-14 h 0114 h =(-1)+1} よって、f'(0)が存在し,f(x)はx=0で微分可能である。の(1) 以上から e-x+1 f(x)= e+x+3(x<0) DET

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