問題文は a>0,b>0のとき、次の不等式を証明せよ。 　　　(a+b)(1/a+1/b)>=(大なりイコール)4 というものです。上から4行目の右辺の+2が√の中に入らない理由を教えてください

14 (a+b) (1/2+1/1/2)=1+1/+1/+1=00+/6/ a ここで、1/30,1/2>0であるから,相加平均と相乗平均の大小関係により b a b 10/0/+1/ b No b a a よって +2≥2 1 (a + b) (-²/2 + 1/ ) 24 a b a +2 +2=4

Math Ⅱ ⌇不等式の証明 写真の問題(2)について なぜ√7+√13>√6+√14を証明出来たら √7-√6>√14-√13が言えるのでしょうか,,？

58 次の不等式を証明せよ。 (1) √7+√8/√5+√10 (2) V7+√13√6+√14 について,平方の差を考えると (√7+√13)2 *(2) √7-√6-√14-√/13 よって (√7+√13)²>(√6+√14) 2 √7 +√13 > 0, √6+√14 >0であるから √7 +√13 > √6+√14 √7-√6>√14-√13 ゆえに 答 -(√6+√14)2=(20+2√91)-(20+2√84)=2(√91-√84) > 0 詳解

220. x>2においての増減表ではないのですが これでも大丈夫ですか？？

338 基本例題220 不等式の証明(微分利用) 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (1) x>2のとき x3+16>12x (2) x>0 のとき x 4-16≧32(x-2) 指針 ある区間における関数f(x) の最小値がm ならば,その区間において, f(x)≧m が成り つ。これを利用して,不等式を証明する。とは ① 大小比較は差を作る 例えば,f(x)=(左辺) (右辺) とする。 [②] ある区間におけるf(x) の値の変化を調べる。 ( ③3 f(x) の最小値を求め, (区間における最小値)>0 (または≧0)から、f(x) (または ≧0) であることを示す。 なお, ある区間でf(x) が単調に増加することを利用する方法もある。 →x>aでf'(x)>0かつf(a)≧0ならば, xa のときf(x)>0 【CHART 不等式の問題 解答 口 (1) f(x)=(x+16)-12x とすると ① 大小比較は差を作る 2② 常に正⇔ (最小値) > 0 f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2) f'(x)=0 とすると x=±2 x≧2におけるf(x) の増減表は右のように なる｡ よって, x>2のとき f(x)>0 したがって x³ +16>12x (2) f(x)=(x^-16)-32(x-2) とすると自 f'(x)=0 とすると x>0 におけるf(x) の増減表は右 のようになる。 ゆえに,x>0のとき, f(x) は x=2で最小値0 をとる。 よって, x>0のとき したがって p.328 基本事項 3, 基本 211 f'(x)=4x³-32=4(x³−8)=4(x−2)(x²+2x+4) Sp x=2 f(x) ≥0 -1632(x-2) XC f'(x) f(x) 0 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 r3 +3>3x x 2 f'(x) + f(x) 0 > ... S-)(ph+ps 2 0 + 極小 0 7 別解 (1) x>2 f'(x) >0 f(x)=(左辺) (右辺) 演習26 ゆえに,x>2のとき f(x) は単調に増加する。 よって,x>2のとき f(x) f(2)=0 すなわち f(x) ◄x³-8=0k 2 満たす実数解は x=2のみ。 [f(x) の最小値] 20 38 演 x, (1) (2) 指針 [CH 解 (1) 整 y こ (2) fc 2 に 検 (17 練習

数三積分の問題なのですが、なぜ3行目で常に〰︎︎または〰︎︎では無いと分かるのか理由を教えて頂きたいです。

数列の和の不等式の証明 重要 例題 232 nは2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。 1 1 log(n+1)<1+- + +...... + <logn+1 3 指針 数列の和 1+ 1 1 + 2 3 解答 自然数 から 1 常に+1 1 k+1 k=1Jk k≦x≦k+1のとき に対して, 1 すなわち, 曲線 y= の下側の面積と階段状の図形の面積を比較して,不等式を XC 証明する。 1 x •k+1 dx k よって Sa+¹ dx < 1/1/2 k k n nk+1 dx x k=1 M であるから k+1 k n-1k+1 dx 1 k+1] 1 1 k k+1 または (+) doo S xC (+1dx •k+idx +......+ x =log(n+1) 1 1 k = •k+¹ dx k x k+1dx dx < 1/2 k 21 =1k 4²0= logx 定積分の利用(面積比較) ck+¹ dx k ではない jk log(n+1)<1+ 1 は簡単な式で表されない。 そこで,積分の助けを借りる。 n 1n+1 ©から dx f" d= [108x] "=1 1+1/²/2 + 1/²/3 基本229231 演習 236237 k=13k → この不等式の両辺に1を加えて よって, ①② から n≧2のとき n y₁ 1 +.... 1 1 (2) 2√n+1-2<1+ √2+√3 y= 0 123.n\x n-1n+1 k=1Jk k=1k+1 =logn であるから 0 123･･･ n n-1 1 <D Ⅱ 式イ 1 n nick+1 dx 式 1 1 2 1 1 1+ + + 2 3 log(n+1)<1+ + +......+ 1 3 + +・ 練習 次の不等式を証明せよ。 ただし、nは自然数とする。 (3 232 1 1 (1) + + + + + + + < 2-1 (n=2) <2- n² n ++/² n 1 n 1 + 2 3 1 k + YA *@S² + S² • -≤2√n-1 1 k+1 0 k n+1 =S+ k+1' で k=1,2 n と して辺々を加える。 n <logn+1 a+1dx X +・・・・・・+ k+1 として辺々を加える。 1 <logn 1 n +...+ で k=1,2, ....... n-1 Ca+1 x .... (2) <logn+1 〔(2) お茶の水大] p.362 EX207 361 7章 36 定積分と和の極限、 不等式

こういうちょっと違う筋の問題はどうすれば初見で解けますか？あとなぜACはsinではなくtanですか？

保法 a 2) 0 157 円周率π に関する不等式の証明 円周率に関して,次の不等式が成り立つことを証明せよ。 ただし, は使用しないこととする。 r=3.14...... 3√6-3√2<x<24-12√3 mm Je 各辺の差を考える方法では証明できそうにない。 そこで, 各辺に同じ数を掛けたり 各辺を同じ数で割ることを考えてみる。 0 点0 を中心とする半径1の円において, 中心角が- の扇形OAB を考える。 点Aにおける円の接線と直線 OB の交点をCとすると, 面積について ゆえに 各辺を12で割ると は p.243 基本 例題150 (1)で求めた sin 15° の値であることをヒントに, 下の解答のような、中心角 の扇形に注目した図形の面積比較が浮上する。 12 よって ここで ゆえに √6-√² <12<2-√3 4 tan △OAB <扇形 OAB < △OAC π π 1/12.1.sin/11/12/11/11/12・1・tan 1/12 π sin <12<tan 12 12 sin 72=sin(4-4) UNT 12=tan(-4)= √6-√2 4 π 12 π = sin π 4 COS tan-7- -tan tan- 4 ここで, π 6 π [ 1 + tan Stan 加法定理 π 6 π π 12 = -cossin 1 √√6-√2 4 T 1+1.- 46 [大分大] π √√3 ・基本 150 = 「扇形の面積がを含む数 になることも、面積比較の 方法が有効な理由の1つ。 C tan √6-√2 4 253 12 ・<2-√3 すなわち 3√6-3√2<x<24-12√3 la 3.1063.215 √3-1-2-√3 √3+1 (0) 180 求めにくい値を不等式を使って評価する 値が具体的に求められないもの(Pとする)については、上の解答のように,不等式 ●<P<■を作ることができれば、おおよその値を調べられる。このような不等式を作っ て考える方法は,数学における重要な手法の1つである。 特に, 数学Ⅲではよく使われる。 <Cを直角とする直角三角形 ABCに対して, ∠Aの二等分線と線分BCの交点を _Dとする。 また, AD = 5, DC = 3, CA=4であるとき, ∠A=0とおく。 (1) sineの値を求めよ + Flas 4章 4 25 加法定理の応用

このk!はどこからきたのですか？

思考のプロセス nを4以上の整数とするとき, 数学的帰納法を用いて次の不等式を証明せよ。 2n<n! 自然数nについての等式, 不等式の証明は数学的帰納法の利用を考える。 目標の言い換え [1] n=4 のときに ① が成り立つことを示す。 ( ① の左辺)=| (①の右辺)= [2] 「n=kのときに ① が成り立つと仮定すると,n=k+1 のときにも ① が成り立つ」 ことを示す。 n=kのときの不等式2' < h! が成り立つと仮定。 ⇒ n = k+1 のとき (k+1)! - 2k+1 = (k+1) k-2k+1 > (k+1)-2k+1 =…. > 0 仮定の利用 << Re Action 数学的帰納法では,n=k+1のときの式の複雑な部分に仮定の式を用いよ 例題274 解 [1] n=4 のとき (左辺) = 24 16, (右辺)=4!= 24 (左辺) (右辺)であり, ① は n=4のとき成り立つ。 [2]n=kk≧4) のとき, ① が成り立つと仮定すると 2k<h! n=k+1のとき n=4 をそれぞれに代入して (左辺) (右辺) を示す。 (右辺) (左辺)= (k+1)! 2k+1 k≧4 であるから 2k(k-1)>0 = (k+1)k!-2k+1 > (k+1)2k-2k+1 =2^{(k+1)-2} = 2¹ (k-1) 2k+1 (k +1)! nは4以上の整数である。 よって ゆえに, ① は n=k+1 のときも成り立つ。 [1], [2] より, 4以上のすべての整数nに対して ① が成 り立つ。 4以上の整数について命 題が成り立つことを証明 する場合は, まず [1] と して n=4 のとき成り立 つことを示す。 (右辺) (左辺) > 0 を示 す。 仮定した不等式を用いる ために! をつくる。 条件を忘れないよ うにする。

263 ⑴は両辺の差考える時に 右辺ー左辺するのに ⑵は両辺の差考える時に 左辺ー右辺するのって何が違うんですか？ またどういう時にこれらの使い分けをしますか？

B 263 次の不等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ。 → 4 *(1) nが自然数のとき 12+2+3+..+n²< (n+1)3 3 *(2) nが3以上の自然数のとき 3" >5n+1

0<a≦bのとき logb-loga≧2 ・(b-a )/ (a+b)を示せ。 解答ではf(x)=logx-loga-2(x-a)/(x+a)とおいて解いてるのですが何故でしょうか？方針だけでも教えて頂けると大変助かります。

なぜ、増減表がこのようになるんですか？💦

練習 22 不等式 x 4 +3≧4x を証明せよ。 指針 不等式の証明 (左辺) (右辺) をf(x) とおいて, f(x) の最小値が0以上で あることを示す。 [解答] f(x)=x4+ 3-4x とおくと f'(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1) f'(x)=0 とすると x=1 f(x) の増減表は右のようになる。 よって、 関数 f(x)はx=1で最小値0をとる。 ゆえに f(x) ≥0 したがって x 4+3≧4x 教 p.219 f'(x) ・f(x) 1 0 極小 20 + 7

数学得意な方お願いします。証明自体は理解できたのですが棒線部(オレンジ)が分かりません。

P182 <不等式の証明> 例題(5) x>0のとき、次の不等式を証明せよ。 elex, 1+x+√√x² gcx1 = e² - ( [+ x + ≤ x²³167C²₁ g ₁x1 = (^²-(1+x) (11 5 11 X 70 ak & g'(x) 70 (t = fm, 2 g(x) (FXzonet ¹8md 3. fcol = 02" +²3 0¹5₁ x70 net fex²²0 g101=02² & 3 6²4 x²0A E E Gcx 120 fizxzoare e²7 / + x 512 770048, ex > 1+x+ = x² tr 41 111 ex>1+x f(x) = ex-(1+x/x fick fix)= ex-1 I x70 arz exy/ zº #30¹5 f'cx / 70 したがってf(x)はxC30のとき増加する。 (²154₁ X ²0 a 4£ ex > {x² $6²5 ex > { x 64 ± 20 7 7 Lt=p²² ₂² lim √√ x = ∞ tº $3 14 lim (?= x+002 x70 x 一般に自然数いに対して次のことが成り立つ。 lim ex ∞ line 24 *** x² [xxx ex