基本 例題102 多面体を軸の周りに回転してできる立体の体積 OO00
464
右の図のように,1辺の長さが2の正四面体を2つつなぎ
合わせた六面体がある。この六面体を直線 PQ を軸としてハ
回転させるとき,この六面体の面が通過する部分の体積V A
を求めよ。
A
Bl
基本 101
指針>「面が通過する部分の体積」とあるから,単純にはいかない。
そこで,O 回転体 断面をつかむ に従って考えてみよう。
回転体を△ABCを含む平面で切ったときの断面は,図のようにな
る(O は△ABC の重心,M は辺 BC の中点)。したがって,面が
通過する部分は, △ABC の外接円から, △ABCの内接円をくり抜
いたものと考えられる。このことを立体全体に適用すると
V=(内部が通過する部分の体積)-(面が通過しない部分の体積)
A
B
M
解答
頂点Pから △ABC に垂線 PO を下ろし,
注意 問題の六面体は,すべ
ての面が合同な正三角形であ
るが,正多面体ではない。な
ぜなら,頂点に集まる面の数
が3または4のところがあり
一定ではないからである。
辺BC の中点を M とする。
この六面体の内部が通過する部分の体積
は,半径 OA の円を底面, OPを高さと
する円錐の体積の2倍である。
次に,この六面体の面が通過しない部分
の体積は,半径 OMの円を底面, OP を
高さとする円錐の体積の2倍である。
·C
M
0
B.
Q
AB:AM-2:13.
46:
3:AM+):3
よって
V=2×-て-OA°-OP-2×
-π·OM°·OP
AM-313 >
V3 であり,Oは△ABC の重心であるから る
3
V3
2
ここで, AM=
-AB=
OA=AM=23, OM-
V3
AM=
3
=
またOP=VPA?-OA?=2V6
面八玉
3
3
これらをDに代入して
Ta-
V=(OA--OM)-OP=24-) 26-46
1),2/6
4,6
3
3
3
3
3
π
Q
