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基本 例題157 三角関数の最大·最小 (4)
関数 f(0)=sin20+2(sin0+cos 0)-1 を考える。ただし, 0%0<2元とする。
) t=sin0+cos0 とおくとき、f(0) をtの式で表せ。
(2) tのとりうる値の範囲を求めよ。
(3) f(0)の最大値と最小値を求め, そのときの0の値を求めよ。
基本 139,141, 150
角開数
指針> (1) t=sin0+cosθの両辺を2乗すると, 2sin@cos0が現れる。
(2) sin0+cosθの最大値,最小値を求めるのと同じ。
時(3)(1)の結果から, tの2次関数の最大·最小問題(tの範囲に注意)となる。よって,基
2次式は基本形に直す に従って処理する。
CHA本例題141 と同様に
解答
(1) t=sin0+cosé の両辺を2乗すると
=sin°0+2sin0cos0+cos°0
ピ=1+sin20
f(0)=t°-1+2t-1=t°+2t-2
|sin°0+cos°0=1
よって
sin20=t?-1
ゆえに
したがって
(2) t=sin0+cos6=/Zsin(0+)
の
olaie1
(2) t=sin0+cosθ=/2 sin(0+
050<2rのとき,子50+く社
4
のであるから
π
0
-1Ssin(0+)<1
2:合成後の変域に注意。
-/2StS/2
f(0)=t°+2t-2=(t+1)?-3
-2Sts(2 の範囲において, f(0) は
t=2 で最大値2/2, t=-1で最小値 -3 をとる。
したがって
(3)(1) から
FO)
2/2
最大
t=/2のとき, ①から sin(0+4)=1
のの範囲で解くと +エ= すなわち 0=
V2
10/2 1
4
2
-2
=-1のとき, ①から sin(8+)=-
4
-3
最小
1
4
V2
のの範囲で解くと 0+4=-x, ー すなわち 0=x,
5
7
4πすなわち 0=π,
3。
π
4
よって
のとき最大値2、2;
2
3
0=π, ;Tのとき最小値 -3
2
例2な
