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第2章 高次方程式
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小田田日.関のグラ
る
例題 44
係数に虚数を含む2次方程式の解
xの2次方程式 (1+)x+(α-i)x+2(1-ai)=D0 が実数解をもつとき,
実数の定数aの値を求めよ. また,そのときの解をすべて求めよ。
(慶態義塾大)
考え方
係数に虚数を含むので,判別式は使えない。
実数解をrとすると、もとの2次方程式は,
(1+)r+(a-i)r+2(1-ai)=0
この左辺を A+ Bi=0 (A, Bは実数) の形に変形すれば
A=0, B=0 である. (カ.81 「複素数の相等」 参照)
く複素数の相等>
A, Bが実数のとき,
X
A+Bi=0
→ A=0, B=0
解答この2次方程式の実数解を x=r とすると,
(1+)r+(a-i)r+2(1-ai)=0
(r2+ar+2)+(rーrー2a)i=0
r, aは実数だから,
「r+ar+2=0
lr2-r-2a=0
D-2 より,
(a+1)r+2(1+a)=0
(a+1)(r+2)=0
したがって,
(i) a+1=0 つまり, a=-1のとき
のに代入すると,
ここで,判別式 D=(-1)?-4·1·2=-7<0
rは実数であるから, 不適
(i) r+2=0 つまり, r=ー2 のとき
のに代入すると,
これは2も満たす。
このとき, 与式は,
(1+i)x°+(3-i)x+2(1-3i)=0
(x+2){(1+i)x+(1-3i)}=0
したがって,
よって,(i), (i)より,
a=3, そのときの解 x=-2, 1+2i
実部と虚部に分ける。
y2+ar+2, rーr-2a
は実数
a, bが実数のとき,
2)
a+bi=0
→a=0, b=0
aとrの連立方程式
y2を消去して次数を下
a+1=0 または r+2=0
げる。
それぞれの場合について,
もとに戻って調べる。
実際に解くと,
_1土 7i
y2ーr+2=0
r=
2
4-2a+2=0 より,
a=3
0, 2ともに満たすこと
を確認する。
r=-2 つまり, 左辺は
x+2を因数にもつ。
(1+)x+(1-3i)=0
(1+i)x=-1+3i
-1+3i
1+i
x=-2, 1+2i
x=
=1+2i
