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数学 高校生

青線のところです。 なぜ最初は√5=の形になって、最後は√7=の形になるのですか?

基本 例題 61 背理法による証明 0000 √7 が無理数であることを用いて,√5+√7は無理数であることを証明せよ。 指針 無理数である(=有理数でない)ことを直接示すのは困難。 そこで,証明しようとする事柄が成り立たないと仮定して, 矛盾を導き、その事柄が成り立つことを証明する方法, すなわち 背理法で証明する。 p.102 基本事項 ・実数・ 無理数 有理数 直接がだめなら間接で 背理法 CHART 背理法 「でない」, 「少なくとも1つ」の証明に有効 √5+√7 が無理数でないと仮定する。 解答 このとき 5+√7は有理数であるから, rを有理数とし て√5+√7=rとおくと 57の倍数でない」 5=r2-2√7r+7 1√5+√7は実数で 無理数でないと仮 いるから, 有理数 2乗して5 (*) 有理数の和・差 商は有理数であ 両辺を2乗して とき ゆえに 2√7r=r2+2 越 または 22+2 ≠0であるから √√√√7 = 2x 661+5=p [1] ①E=J 2 +2.2r は有理数であるから,①の右辺も有理数であ (*) ell よって、 ①から√7は有理数となり, √7 が無理数である ことに矛盾する。 +AS+1AE)=(S+18)(1+ したがって, √5+√7 は無理数である。 +1 3+4+1は整数 したがって、もとの曲も真であ 背理法による証明と対偶による証明の違い 矛盾が生じたか の仮定,すなわ √5+√7が無 「ない」が誤りた かる。 +A+1st 1+1=

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