高二数学 波線を引いている部分のabはどう計算して3abからabになったんですか？

B1 式と証明・高次方程式 (20点) 多項式P(x)=x+(k-2)x2+(3-2k)x-6 がある。 ただし, kは実数の定数とする。 (1) P(2) の値を求めよ。 また, P (x)を因数分解せよ。 (2) 方程式 P(x)=0 が異なる2つの虚数解をもつときんのとり得る値の範囲を求めよ。 また、このとき、2つの虚数解をα, β とする。 '+B'+2a+2/+3=11 であるとき kの値を求めよ。 配点 (1) 8点 (2) 12点 解答 (1) P(x)=x+(k-2)x2+(3-2k)x-6 P(2)=8+4(k-2)+2(3-2k)-6 = 0 <P(x) に x = 2 を代入する。 よって,P(x)はx-2 を因数にもち, P(x) を x-2で割ると、次のように 因数定理 なる。 x2+kx +3 x-2)x+(k-2)x2+(3-2k)x-6 -2x2 kx²+(3-2k)x P(x)は1次式x-αを因数にも (x-αで割り切れ ⇔P(α)=0 組立除法を用いて計算すると, のようになる。 kx² -2kx 3x-6 3x-6 0 k-2 3-2k -6 2 2k 6 1 k 3 10 したがって P(x)=(x-2)(x2+kx+3) 圈 P(2) = 0,P(x)=(x-2)(x2+kx+3 ) 多項式Aが多項式Bで割り あるとき,商をQ とすると A=BQ 完答への AP(2) の値を求めることができた。 道のり P(2) の値と因数定理から,P(x) が x-2 を因数にもつことに気づくことができた。A © 多項式の除法により, P (x) を因数分解することができた。 (2) (1)より, 方程式 P(x) = 0 は (x-2)(x2+kx+3)=0 すなわち x=2 または 3次方程式 P(x)=0の1 は,kの値に関係なく, x= 残りの解は2次方程式①の解で .....① x+kx+3=0 よって,P(x) = 0 が異なる2つの虚数解をもつ条件は, 2次方程式①が 虚数解をもつことである。 ①の判別式をDとすると D=k-4・1・3 = k²-12 2次方程式 ax2+bx+c=0 の判 別式をDとすると D=b2-4ac 40-

この問題の解説の意味がわかりません 立式する過程での理由っていうものがよくわかんないので教えて欲しいです。

478 重要 例題 43 隣接 3 項間の漸化式 (3) | がり方の総数を an とする。 このとき, 数列{an} の一般項を求めよ。 この 指針 数列 {a} についての漸化式を作り、そこから一般項を求める方針で行く。 1歩で上がれるのは1段または2段であるから,n≧3のとき! 九段にする の2つの方法がある。 このように考えて,まず隣接3項間の漸化式を導く。 作 を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する方法 [2] 1段手前[(n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法 →漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題41と同様であるが、 特性方程式の解α, βが無理数を含む複雑な式となってしまう。計算をらく ためには,文字 α βのままできるだけ進めて、最後に値に直すとよい。 α=1, a2=2である。 解答のとき,段の階段を上がる方法には,次の [1], [2] の 場合がある。 - [1] 最後が1段上がりのとき, 場合の数は (n-1) 段目まで の上がり方の総数と等しく an-1 [2] 最後が2段上がりのとき, 場合の数は (n-2) 段目まで の上がり方の総数と等しく an-2 =2 フィオ いて、 あ ある 新た ま ろ 月末 とな 漸ｲ こ {a か ① [1] 最後に1段上がる [2] 最後に2段上がる n FX 九段 a (n-1)段 ここまで an-1 通り (n-1) 段 | (n-2) 段 ここまで2通り よって an=an-1+an-2 (n≧3) (*) 和の法則(数学 この漸化式は,n+2=an+1+an (n≧1)... ①と同値である。(*)でカード x=x+1の2つの解をα, β (α<β) とすると, 解と係数の 関係から ①から α+β=1, aβ=-1 2-(1-x)=(- an+2-(a+β)an+1+aban = 0 よって an+2-dan+1=β(an+1-aan), az-aa=2-a an+2-βan+1=α(an+1-Ban), az-Ba=2-β ②から ③から an+1-aan=(2-α)B-1 an+1- -βan=(2-β)an-1 ◆特性方程式 x2-x-1=00 x= 1±√5 ...... a=1, al ◄ar"-1 ④ こ ...... ⑤ α+1 を消去 ④ ⑤ から (B-α)an=(2-α)β"-1-(2-β)α7-1 1-√√5 a= 2 B=1+1/5 2 であるから B-a=√5 また,α+β=1, a2=α+1, B2=β+1であるから 2-α=2-(1-B)=B+1=2 2-B=a² 同様にして よって、⑥から an= 1 1+√5 \n+1 1-√√5 2 雪 次の条件によって定め 3 α,βを値に直す 12-a, 2-8 は、α,Bの値を 代入してもよい ここでは計算を ている。

x.yを解にもつtの二次方程式というのを思いつくまでの過程が分かりません。こういう場合に使うなどがあれば教えて頂きたいです🙇‍♀️

Site 9'6 (9) to ynsm (b) 第2問 x2 = 2020+yとy=2020yを満たす,y(エ≠y)について,+y, mty, ay の値はそれぞれ x+y= (5) x2+y^2= (6) × (7) xy=(8) である。 ただし, (6) と (7) は4桁の自然数で答えよ。 このことから α = 2021 としてx> yのときx,yの値をαを用いて表すと= (9) (10) y= である。

次の226の問題の(3)の言いたいことは(2)で曲線との接線を求めていてその接線は二点で通るのでそのまま(2)の答えのxの係数を答えとしている感じなのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

したがって, 求める接線の方程式は, ①に代入すると y = 0, y = 8x-12,y= 1 3 16 x- 9 32 とおくと 2 (3)ー= - ･･･ ②の実数解の個数は y=x-x.③の 2±√2 6 グラフと直線y=d(x-2)…･･ ④ の共有点の個数に一致する。 ④は点 点 (1/2, 0)を通り, 2-√2 6 グラフより ③と④が接するとき ③と④ 傾きの直線である。 は接点以外の共有点を1つもつから, 方程式 11/12 のとき,(1-3k) 最大値が であるから 2 Ok≦ k = 1± 1 4 1 (2)土 = 0<k≦ より k = 4 = <k<1 のとき, 4 1/12 とおくと 8k-1=0 (2k 1)(4k²+2k+1)=0 kは実数であるから k = 1 2 これは 1/24 <k<1を満たしている。 2-√2 1 したがって, 最大値が となるkの値は k= 2 6 2 ②は異なる2つの実数解をもつ。 したがって, 求めるαの値は a=0, 3 16' 8 227 3つの実数a, b, c (as b≦c) が a+b+c=-1, ab+be+ca=-5 を満たす。 次の値の とり得る範囲を求めよ。 226 (1) 関数 y=xxのグラフをかけ。 (2)曲線 y=xxの接線で,点 (12,0)を通るものをすべて求めよ。 (3)の3次方程式 ー=d(x-2) の異なる実数解の個数が2個であるような定数aの値 を求めよ。 (1) y'=3x²-2x=x(3x-2) abc を解とする3次方程式を作る。 (1) abc (2) a (1) abc = k とおくと, a, b, cは x+x2-5x-k=0 ... ① の3つの実数解である。 3次方程式 ax+bx+c=0 の3つの解をα By と すると 与えられた条件から、解と係数の関係を利用して、he を解とする3次方程式は -(a+b+c)+(ab-le-cola-ale-0 2 y=0 とおくと x=0, つまり、 と表せる。 beabo 3 ここでバーナー とおく。 よって, yの増減表は次のようになる。 2 x 0 3 0 [V + 0 - 0 + 4 y > 0 27 したがって, グラフは右の図。 (2) 接点をT(t, ピード) とおくと, Tにおける接線の方程式は y-(13-12) (312-21)(x-1) y=(31-21)x-21°+1 ... 1 これが点 (120) を通るから 1x = -1/2 のとき 方程式 ① は x3 + x2-5x=k f(x)=x+x5x とおくと, 方程式 ① の実数解の個数と曲線 y=f(x) と直線y=kの共有点の個数は一致する。 ここで f(x)=3x+2x-5 b a+β+r=- a C aβ+βr+ra= a =(x-1)(3x+5) 5 x 1 d f (x) = 0 とおくと 3 aβr= 5 f'(x)+ 0 0 + x=- 1 3' 175 f(x) > -3 よって, f(x) の増減表は右のよ うになる。 27 (ア) -3 <k< ー () () 175 27 175 のとき, 異なる3つの実数解をもつ。 8 4 4 27 27 9 27 (K) k=-3, それと異なる1つの実数解をもつ。 のとき、 実数の重解と YA y=f(x) J175 27 175 -3<k< のときは 27 3点で交わるから異なる 3つの実数解をもつ。 k=-3, 175 のときは 27 ty'=3x²-2x より 接線 の傾きは 32t (ウ) k-3, 175 27 y=k くんのとき、1つの実 1点で接して, 1点で交わ るから重解とそれと異な 3. 0 = (312-21)-213 +12 46-116°+6t=0 数解と2つの虚数解 (2つの互いに共役 な複素数解)をもつ。 0 1つの実数解をもつ。 y=k k<-3, (ア)~(ウ)より, abc がとり得る値の範囲は 175 -3 y=k 175 27 くんのとき t(t-2)(4t-3)=0 3 よって t = 0, 2, 4 t(4t2-11t+6)=0 t(t-2)(4t-3)=0 -3 abc ≤ 27 は1点で交わるから、 1つ の実数解と2つの虚数解 をもつ。

(3)について質問です。 右の画像の赤線部のように変形できるのはなぜですか？🙏

礎問 108 面積 (IV) mを実数とする. 放物線y=x2-4.x +4 ...... ①, 直線y=mx-m+2...... ② について,次の問いに答えよ. (1)②はmの値にかかわらず定点を通る. この点を求めよ. (2) ①,②は異なる2点で交わることを示せ. (3) ①,②の交点のx座標をα, B(a<B) とするとき,①,②で囲 まれた部分の面積Sをα, β で表せ. (4)Sをmで表し, Sの最小値とそのときのmの値を求めよ. 精講 S (1)37 ですでに学んでいます。 「mの値にかかわらず」とくれば, 「式をmについて整理して恒等式」 と考えます。 (2) 放物線と直線の位置関係は判別式を利用して判断します. (3) 106ですでに学んでいますが,定積分の計算には101 (2) を使います. (4)21 (解と係数の関係) を利用します。 解答 (1) ②より m(x-1)-(y-2)=0 電について整理 これがmの値にかかわらず成立するとき, x-1=0,y-2=0 異なっていても定 (弐)-(下 よって,mの値にかかわらず②が通る点は,(1,2) (2) ①,②より,yを消去して, x2-4x+4=mx-m+2 :.x²-(m+4)x+m+2=0 判別式をDとすると, <D> を示せばよい D=(m+4)2-4(m+2) =m²+4m+8 YA =(m+2)+4>0 よって、 ①と②は異なる2点で交わる. (1) 2 (3)右図の色の部分がSを表すので S=f" (mx—m+2)—(x²-4x+4)}dx x 0 a 1 2 Bx

指針の（1）のところで、 Xの二乗−（和）X＋（積）＝0 とあるのですが、なぜマイナスやプラスが 決められているのですか…？

|基本例題 50 2次方程式の作成 (2) (1) 2次方程式x²-2x+3=0 の2つの解をα β とするとき, α+- 解とする2次方程式を1つ作れ。 00000 1 B' B+ 11 を a [立教大] (2) 2次方程式x2+px+g=0の2つの異なる実数解をα, β とするとき 2数 α+1, β+1が2次方程式x2-3px-2pg=0の解になっているという。この とき,実数の定数p, g の値を求めよ。 指針解と係数の問題 解と係数の関係を書き出す に従って考える。 基本 49 (1) まず, 2次方程式x2-2x+3=0について, 解と係数の関係を書き出す。そして, 2つの解の和と積を求め,xー(和)x+(積) = 0 とする。 (2) 2つの2次方程式の解と係数の関係を書き出し, α, B, b,g についての連立方程 式を解く。

（2）が分かりません。 答えの赤線部（2）6行目から意味が分かりません。 教えてください！ よろしくお願いします🙏

総合 (1) 実数x, yが(x-3)+(y-3)=8を満たすとき, x+y と xyのとりうる値の範囲をそれぞ れ求めよ。 (2)α,Bは (α-3)2 +(B-3)" =8 かつα<βを満たす実数とする。 また, α, Bは2次方程式 x²-kx+5 -=0の2つの解であるとする。 このとき, k, α, βの値を求めよ。 (1)(x-3)+(y-3)=8 から [埼玉大] 本冊 数学Ⅱ 例題 50 x2+y2-6(x+y)+10=0 よって (x+y)²-2xy-6(x+y)+10=0 x+y=X, xy=Yとおくと X2-2Y-6X +10 = 0 ←x, yの対称式→基 本対称式x+y, xy で表 す。 ゆえに Y = 1/12 X-3X +5... ① また, x, yは2次方程式-Xt+Y= 0 解である。 ②の2つの実数 ←ー(和)t+ (積) = 0 2次方程式②の判別式をDとすると D=X2-4Y 2次方程式 ② が実数解をもつための条件は X2-4Y0 よって ①を代入して 2-4 (1/2x-3X+5 ) 20 D≧0 ←x, yの実数条件に注 意。 ゆえに ゆえに X2-12X+20≦0 よって (X-2) (X-100 2≤ X ≤10 ...... (3 また、①を変形するとY-12(x-3)2 +12/2 よって、③のもとでYのとりうる値の範囲は ≤Y≤25 2 したがって 2≦x+y≦10, (2)α,βは2次方程式xkx+1=0の2つの解であるから, 解と係数の関係により ≤xy≤25 2 5 2 5 a+β=k, aβ=- ***** 4 2 YA Y=1/2(x-3)2+,/172 25 0 (3/12) 10 X α,βは (α-3)2 +(β-3)=8を満たしαキβであるから, (1) ←α,Bは (1) の x, y と と同様に考察すると, (1) のDについて D>0であり 2 <α+β <10 すなわち 2<k<10 また,aB=1/12 (a+B)2-3(a+β)+5が成り立つから,④より 5 1 k2-3k+5 2 2 ゆえに (k-1)(k-5)=0 2<k<10であるから k=5 よって k2-6k+5=0 同様の条件を満たすから、 同様の考察により,①す なわち 1=1/12(4+B)2 aβ= 100 -3(a+B)+5 などを導くことができる。 ただし, αキβ から D0 となることに注意。 ←2x²-10x+5=0 5 5±√15 このとき、2次方程式x2-5x+1=0 を解くとx=- 2 5-15 5+√15 α <βであるから a= B=- 29 2

（1） 判別式Dに＝がついてるのはなんでですか? ２つの解と書いてあるから重解になるのは変な気がします。教えてください。

基本 例題 52 2次方程式の解の存在範囲 2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、定数の 値の範囲を定めよ。 (1)2つの解がともに1より大きい。 (2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 指針 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。 (1)2つの解がともに1より大きい。 → α-1>0 かつβ-1>0 p.87 基本事項 2 (2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 → α-3とβ-3 が異符号 以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし,判別解 2次関数 解答別式をDとする。 D =(-p)² - (p+2)= p²-p-2=(p+1)(p-2) 4 解と係数の関係から a+β=2p,aß=p+2 (1) α>1,β>1であるための条件は D≧0 かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (β-1)>0 D≧0 から よって (p+1)(p-2)≥0 p-1,2≦p ...... (a-1)+(β-1)>0 すなわち α+β-2>0 から 2p-2>0 よって>1 ...... f(x)=x2-2px+p+2 のグラフを利用する。 (1) 2 =(p+1)(p-20, 軸について x=p>1, f(1)=3-p>0 から 2≦p<3 YA x=py=f(x) ② 3-p + a 1 B x (α-1)(-1)>0 すなわち αβ- (α+β) +1>0 から p+2-2p+1>0) 89 2 2章 解と係数の関係、解の存在範囲 よって <3 ③ たす 1- 求めるかの値の範囲は, 1, 2, (SF (0. (2)_f(3)=11-5p < 0 から 11 ③の共通範囲をとって 123 P 2≤p<3 の解は (2) α<β とすると, α <3 <βであるための条件は (a-3)(B-3)<0 題意から α =βはあり えない。 すなわち αβ-3(a+β)+9 <0 250 ゆえに p+2-3・2p+9 < 0 よって 11 p> 5

練習228は解と係数の関係をつかった解き方をしないと解けないのですか？ 教えてください！

数学Ⅱ解と係数の関係で質問です。 二次方程式の解が異符号の2つの解を持つとき、考えるのはαβ＜０のみであっていいのはなぜですか？ α＋βを考えなくて良いのは分かりますが、D＞０を考える必要があるない理由が分かりません 教えてください🙇 画像は例題です