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折れ線の長さの最小
重要 例題 87
00000
xy平面上に2点A(3,2), B(8, 9) がある。点Pが直線l:y=x-3上を動くと
き AP+PB の最小値と,そのときの点Pの座標を求めよ。
基本86
直線l:y=x-3上の点P(x,y) に対し AP=√(x-3)^2+(y-2) ²
などとして AP+PB の最小値を求めるのは大変である。
そこで,見方を変えて, 図形的に解決することを考える。
右の図で, A, B が直線ℓに関して同じ側にあることに注
意して,まず,点A の, 直線ℓに関する対称点A'をとると,
AP=A'Pであるから AP+PB=A'P+PB
更に A'P+PBA'B
この等号が成り立つのは,
3点A', P, B 一直線上にあるときである。
CHART 折れ線の問題 対称点をとって1本の線分にのばす
指針
解答
図のように, 2点A, B は直線
lに関して同じ側にある。
直線ℓに関してAと対称な点を
A' (a, b) とする。
直線 AA' はlに垂直であるから
･・1≠-1
6-2
a-3
ゆえに
a+b=5
線分 AA' の中点は直線l上にあ
るから
-3
2+6
2
2
-3
A
(3, 2)
平面上に2点A(12)
P
A'B=√(8-5)^2+(9−0)=3√10
D(
B(8,9)
3 A' (5,0)
ゆえに a-b=5
① ② を解いて a=5, b=0
ここで
AP+PB=A'P+PB≧A'B
よって, 3点A', P, B が一直線上にあるとき, AP+PBは最
小になり, その最小値は
y=x-3
よってA'(50)
また, 直線 A'Bの方程式は
y=3x-15 ③
直線 ③ l の方程式を連立して解くと
x=6,y=3
したがって 求める点Pの座標は (6, 3)
B
137
折れ線の問題では, 線対称
移動を考えるとよい。
(数学A: 図形の性質参照)
直線の傾きは1で 明ら
かに aキ3
KAPA'P
1線分 AA' の中点の座標は
3+a
2+6
2
2点A',B間の最短
は、2点を結ぶ線分 A
である。
