a,bは実数とする。3次方程式
を解に
+αx+b=0が2+i
もつとき、定数a, b の値を求めよ。 また、他の解を求めよ。
と
考え方
方程式P(x)=0 がαを解にもつP(a)=0
15
解答 2+iが解であるから
(2+i)-2(2+i)^+α(2+i)+b=0
▼方程式にx=2+iを
整理して
(2a+b-4)+(a+3)i = 0
について整理する。
a, b は実数であるから, 2a+b-4, a+3 は実数である。
▼A+Bi=0A=0,
よって
2a+b-4=0, a+3=0
これを解くと a=-3,b=10
このとき, 方程式は
32x²-3x+10=0
左辺を因数分解すると (x+2) (x²-4x+5)=0
▼因数定理を利用した。
したがって
以上から
x=-2, 2±i
a=-3,b=10, 他の解は-2,2-i
参考
応用
例題9において、 2つの解 2+, 2i は互いに共役な複素数である。
一般に,係数が実数であるn次方程式の解の1つが虚数 a+bi ならば,それと共役な複
a-bi も解であることが知られている。
□114 a, b は実数とする。 3次方程式x+ax+b=0が1-2i を解にもつとき、定
その値を求めよ。 また、 他の解を求めよ。
1-21 を解にものから、代入してい
(1–25) ((si)+0 (1-2)+6=0
(1-2)(1-2) (1-2)-(1-2) (1-2)+a-gaitb=0
(1–21-218441)) ((si) -(1-si-si+4(-1) + α-sai+b=0
(1-4i+4)(1-2)-(-4i-3)+Q-2aitb=0
V-2i-dis81+4-8i+4i+3+a-sai+6=0
-7-bi+A-4ix+a-zaitb=0
この時、方程式は
=10ita-zaitb=0
(10+20)+(a+b)=0
(a+b)+(10+2a) i=0
06210420-0
-5+6=0
2a=-10
6=5
02-5
43μ-5++5=0
1 155 EL
2
1-2-3
