重要 例題88
(1) 関数 y=x*-6x°+10 の最小値を求めよ。
(2) -1三x<1のとき, 関数 y=(x°-2x-1)?-6(x?-2x-1)+5の最大値,最小
4次関数の最大 最小
値を求めよ。
ごある。
(2) 類名城大)
基本 77
指針>4次関数の問題であるが, おき換え を利用することにより, 2次関数の最大 最小の問題
Pをます
に帰着できる。なお, ●=tなどとおき換えたときは,tの変域に要注意!
(2) 繰り返し出てくる式x°-2x-1を =Dtとおく。 -1Sx<1における x-2x-1の値域
がtの変域になる。
CHART 変数のおき換え 変域が変わることに注意
の形に変。
解答
の(1) x=tとおくと
(実数)20合るち
このかくれた条件に注意。
0ミ
yをtの式で表すと tさ
ソ=t-6t+10= (t-3) +1
t20の範囲において, yはt=3のとき
x=±/3
x=±/3 のとき最小値1
104
y=(x°)°-6x°+10
tの2次式→基本形に。
yー2-6t+10
最小となる。このとき
1 最小
4t=3つまり x=3 を解く
t と
よって
0
3
いて基本形
いて基本
+sの形
x=±/3 大
(2) x-2x-1=tとおくと
t=(x-1)°-2
-1Sxs1から
yをtの式で表すと
ソ=-6t+5=(t-3)°-4
0の範囲において, yは
t=-2 で最大値 21,
t=2 で最小値 -3 をとる。
t=-2 のとき
こ注宅文!
法顔宇文1
-2<t<2
|2
t=x?-2x-1 (-1<x<1)
のグラフからtの変域を判
最大
1%30 を解く
01
断。
x
リ=1
最小
の形に。
(x-1)-2=-2
(x-1)=0
て基本駅
ゆえに
2c
よって
t=2のとき
x=1
21人外
(x-1)-2=2
(x-1)°=4
+s の形
最大)
4(x-1)=4から
x-1=±2 でもよい。
ゆえに
よって
x=-1, 3
5
.2
-1Sx<1を満たす解は
この確認を忘れずに。
x=-1
以上から x=1のとき最大値 21,
-2 0\1/3
-3コ最小
山の値
の解。
=-1のとき最小値 -3
立の方
練習
次の関数の最大値,最小値を求めよ。
88 (1)
2
107.2
C 1。
こr55)