青チャートⅡB 数列 例題93の問題（524ページ）で分からないところがあります。 黄色の線を引いたところの数列｛Cn｝の第k項が、数列｛an｝の第l項になる理由がわからないです。😭 何がヒントになることや考え方を教えて欲しいです、 チャートめっちゃ汚くてすいま... 続きを読む

等差数列(a。), (6,} の一般項がそれぞれ a,ー4n-3, b,=7n-5であるとき、 の2つの数列に共通に含まれる数を, 小さい方から順に並べてできる数列に Oo000 524 重要例題93 2つの等差数列の共通項 100 4(公差)- (nの の一般項を求めよ。 指針> a=1+4(n-1)であるから, 数列 {an} の初項は1, 公差は4, b。-2+7(n-1)であるから, 数列 (b,} の初項は2, 公差は7 である。 具体的に項を書き出してみると +4は7回 +4 +4 +4 +4 +4 +4 +4 くくく 44, 51, 58, 37, {an}:1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 6, (6月}: 2, 9 16, 23, 30, +7 +7 +7 2+ +7は4回 仁 公差4, 7の最小公倍数 よって {cn}: 9, 37, 65, …… となり, これは初項9, 公差28 の等差数列である。 このような書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つからない 年4と 2 92率降詳1鮮 ( 4丁量のO>多宗) A) の解を求める方針で解いてみよう。 共通に含まれる数が, 数列 {an}の第1項, 数列{bn} の第 m項であるとすると よって, 1, m は方程式 4/-3=7m-5 すなわち 4/-7m=-2 の整数解であるから キ= この不定方程式を解く。 解として, 例えば, 1=(kの式) が得られたら, これを a=4l-3の1に代入すればよい ただし, kの値の範囲に注意が必要である (右ページの検討参照)。 =D 解答 4/-337m-5 4/-7m=-2 1=-4, m=-2は①の整数解の1つであるから ai=Dbm とすると よって 6 1=3, m=2とした場合は 検討 参照。 4(7+4)3D7(m+2) 4と7は互いに素であるから, kを整数として ゆえに 1+4=7k, m+2=4k すなわち 1=7k-4, m=4k-2 と表される。 ここで, 1, m は自然数であるから, 7k-421かつ 4k-221 より, kは自然数である。 よって, 数列 {cn}の第k項は, 数列{an} の第1項すなわち第 4んはんこ号かつにこと 満たす整数であるから, 目 然数である。 (7k-4)項であり 4(7k-4)-3328k-19 求める一般項は, kをnにおき換えて 数列 {b,}の第m項すなわ ち第(4k-2)項としてもよ Cn=28n-19

「数列{an}は初項が3、公差が整数の等差数列、数列{bn}は初項が4、b6=128の等比数列であり、a4<b3<a5を満たしている。2つの数列{an},{bn}の項を小さい方から順に並べてできる数列を{cn}とする。数列{cn}の初項から第50項のうち、数列{an}の項は... 続きを読む

(2) (1)より an=3+4(n-1) = 4n-1 (4n は偶数であるから, である。 4n-1は奇数である。 数列{a}のすべての項は奇数で,数列{6,}のすべての項は:数列 (an) を書き並べると、 偶数であることから, 数列 {a.} と数列{b.}には共通な項はな 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, い。また, 数列 {am}, 数列 {b。}ともに単調に増加する数列で 31, 35, 39, 43, 47, 51, …。 ある。 数列{b}を書き並べると, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …。 よって,数列 {cCn}の初項から第50項の中に数列 {am}が初項 したがって, 数列 {ca} は 3, から第1項まで, 数列{b} が初項から第m項まで含まれると 4,7, 8, 11, 15, 16, 19, 23, すると 27, 31, 32, 35, 39, …のよ 1+m=50 うになる。 である。 ここで Q50 =4·50-1=199, b6=128, b7= 256 であることから, b6<asoくbr であり

マーカーと矢印のところがわかりません、教えてください http://www.yam-web.net/science-note/AM.pdf

導出2 http://hep1.c.u-tokyo.ac.jp/-kazama/QFT/qh4slide.pdf 「量子力学/場の量子論 /Noether の定理」参照 SL Lagrange 微分: を次のように定義する。 SL Te (6,4) OL 8p SL OL 三 p OL 場の運動方程式: =0 次の無限小変換を考える。 x→x'=x+4x (x→x=x"+ Ax") p(x) → p(x) = ¢(x) + 4¢(x) 4は total change(¢(x) からの差分)を表す。 また、中(x)は、(x)= ¢(x) + Ax" 6,¢(x) でもある。 中(x) は場を少しだけ変形したもの、次の項は位置を少しだけずらしたときの差分。つまり、場の形の微小変 化による差分+位置の微小ずらしによる差分= total change となる。 Lie 変分:同一座標点での場の形の変化を Lie 変分と呼びるで表す。 るp(x) = ¢(x) - (x) 上の中(x)に関する2つの式より、 Sp(x) = ¢(x) - (x) = 4¢(x) - Ax" o,¢(x) すなわち total change 4¢(x) は、A¢(x) = ō¢(x) + Ax" o,¢(x) となる。 (x地点では、ふ(x)= ¢(x') - ¢(x') ) 作用S=Jd'xL(¢x), a,4(x))の変化を求める。 S'=[dx L(¢), 6.f(ax)) まず場の変化をx'での Lie 変分で書き表す。すなわちゅ(x) = ¢(x) + 5p(x) 等々。 すると、微小量の一次のオーダーまでとって S'=[dxL(ec). 6,4)+Jd'x( + L -6,54) 第1項をxでの表式に書き換えると、 Ja'r La) =[dxL) d'x=dx =Jdx(L) + Ax" 6,1 ) ヤコビアンは次のように計算される。行列 MをM,= 0, Ax° と定義すると、 TOPページ(総合目次)へ 全文検索は Ctrl+F 11 = detl1 +MI = expTrln(1 + M) ~expTrM~ 1+ 6Ax" OL S'=Jd'x(1+ 0Ax°)(L+ Ax" 0,L + 6,6) ("e)e - 5p T9 この一次近似は、 SL L L -Sp+ 6(- SL 三 6¢ OL =[dx{L+6.(ax" L) + - るみ)} a(6,4) 0.4) =Jdx{L+ + T2 p+ Ax" L)} (0,p) 8p S-S=[dx +s T9 るp+ Ax" L)} - Ja'xL=S 8p (e)e、 =Jdx{e"+ SL ここでは、デ= OL - み+ Ax" L 6,4) SL ゅ= 0 8p 8L L T9 場の運動方程式 8p =0より、 " a(6,4) L L るp+ Ax" Lとしたが、j"= - a(0,4) - 5ゅ - Ax" Lとおいてもよい。) 6j"= 0 (j"=

なぜSの2nの極限を求めるんですか？

基本 例題125 2通りの部分和San-1, Sar の利用 OO000 1 11 1 11 無限級数1- 2 0 について 2 3 3 4 4 (1)級数のの初項から第1項までの部分和をS,とするとき,S2n-1, Sen をそれ ぞれ求めよ。 (2) 級数Oの収束,発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 基本 124 指針>(1)(San11 が求めやすい。San は San=San-1+(第2n 項)として求める。 (2) 前ページの基本例題 124と異なり,ここでは( )がついていないことに注意。 このようなタイプのものでは, Snを1通りに表すことが困難で,(1)のように, Sen-1, San の場合に分けて調べる。 さで てして、ひ を利用する。 [1] lim San-1=lim San=S ならば limS,=S O (出)×(春)1AH n→0 n→0 n→0 [2] lim San-1キlim San ならば {S}は発散 n→0 n→0

流体力学の最初の最初、ラグランジュ微分のところでつまづいて困っております。 二枚目の？をつけた計算過程はどのような微分なのでしょうか？ よろしくお願いします。

の1 流れの運動学 8 1 = (u.V)u U のようにして得られた. 記号▽はナブラ (nabla) とよみ 0 鶏分(1.14) 0 マ= e』 + ey Oy 0z のように定義される演算子 (operator) であるす. ea, ey. Ez はそれぞれ』軸, 軸,2軸の正の向きに向かう単位ベクトル (unit vector) で, これらを基本ベク トル (fundamental unit vector)という。 式(1.12) の両辺を At でわって, At →0 の極限をとると,流体粒子の受け る加速度a(z,t) を求めることができ に Au a(x, t) = lim + (u-V) u(z, t) At→0 At Ot D -u(x,t) Dt となる.ただし D +u.V Ot Dt で,D/Dt をラグランジュ微分 (Lagrangian derivative),あるいは実質微 分(substantial derivative), あるいは物質微分 (material derivative) という。 Du/Dt= Ou/0t+ (u.V)uの右辺第1項は, 流体中のある点aをつぎつぎと 通過する流体粒子の速度の時間的変化の割合を表しており,局所加速度 (local acceleration) とよばれている. また第2項は,点cにある流体粒子がある瞬間 にその前後の流体粒子の速度差のために受ける速度の時間的変化割合で対流加 速度 (convective acceleration) とよばれている。 ラグランジュ微分 D/Dtは, オイラーの方法の意味で »とtの関数として表 された量,すなわち 「場の量」に対してのみ作用させることができる. なぜな ら,その定義式(1.16) の右辺は, 独立変数を αとtとするときの偏微分0/0tと ▽によって構成されているからである. aとtの任意関数 f(z,t) のラグラン ジュ微分は,式(1.15) を導いた過程から理解できるように, 流れに伴う f(x.t) の時間的変化の割合,すなわち, 流体粒子の軌跡に沿っての f(z,t) の時間的変 化の割合を表す。 十演算子▽をスカラー関数f(a)に作用させて得られるVfは, f の勾配 (gradient) とよばれ る。▽をスカラー関数に作用させたときは▽の代わりに grad という記号を使ってもよい。す なわち, ▽f=gradf. 後に述べるように, ▽をベクトルとみなしてベクトル関数に作用させ る(内積をとる)ときは, 記号 gradは使わない、ただし、式(1.13) の▽は grad を使って書 くことができる。

マーカーのところがわかりません、どなたか教えてください🙇

7-2 遅延ポテンシャル これから,(7.7)の右辺の計算をする. その際, 第2項の処理には,深い物 理的洞察を必要とする.まず, その議論を紹介しよう。 電荷や電流は図7-1 に斜線で示した部分に分布しているとする. (7.7)の 右辺の積分領域として, 電荷や電流が分布している領域を内部に含む十分大 きな球を考え,その中心が電磁場を観測する点rであるとする.さらに, R=r-r' によって相対座標 Rを定義する.rが球面上の点の位置ベクトルであると

これはシグマの上がn(n+1)になるのではないんですか？

(2) 1·2+2·3+……+n(nナ1)

なぜ赤丸のような数になるのか教えてください💧

164 <分数式で表された数列の和> 次の和 Sn を求めよ。 n 1 (1) Sn= 台ピ+3k+2 k=1 1 1 11 *(2) S=;++4+2+4+6 1 2 2+4+6+……+2n

(2)の問題について ∑を使って解けることはわかるのですが、別解として、n/2(初項+末項)を利用して解くことが出来るか、知りたいです。解ける場合は、解き方と共に教えてくださると助かります。 ちなみに、上の式を使って、自分なりに考えてみたのですが、答えが合いませんでした。

544 OOOO0 基本 例題107 数列の和と一般項,部分数列 初項から第n項までの和 S, が S,=2n-nとなる数列{an}について (2) 和atas+as+…+azn-1を求めよ。 基本 129 (1) 一般項 anを求めよ。 p.538 基本事項4 指針>(1) 初項から第n項までの和 Snと一般項 an の関係は Sn =a」+az+……+an-1tan -) Sn-1=a」+a:+……+an-1 S-Sn-1= a=S n22のとき ゆえに a,=S,-Sn-1 An n=1のとき 数列の和 S, が n の式で表された数列については、この公式を利用して一般項 an を求め る。 O まず 一般項(第々項)をたの式で表す 第1項,第2項,第3項, (2) 数列の和 一→ *………,第々項 a1, ds, as, Azk-1 であるから,anにn=2k-1を代入して第ん項の式を求める。 なお,数列 a, as, as, ……, azn-1のように、数列 {an} からいくつかの項を取り除いて できる数列を,{an} の 部分数列という。 解答 (1) m22のとき 4,=S,-Sn-=(2n-n)-{2(n-1)°-(n-1)} の AS,=2nーnであるから Sa-1=2(n-1)°-(n-1) =4n-3 ……… A=S;=2·12-1=1 ここで、Oにおいて n=1とすると よって,n=1のときにも①は成り立つ。 また 0 初項は特別扱い a=4·1-3=1 4anはn21で1つの式に表 される。 したがって a,=4n-3 4azk-1は an=4n-3 におい てnに2k-1を代入。 (2)(1)より,ak-」=4(2k-1)-3=8k-7であるから a,+as+as+……+azn-1=2a24-1=E(8k-7) k=1 k=1 =8n(n+1)-7n=n(4n-3) イEk, E1の公式を利用。 (検討)n21でa,=S,-S-1となる場合 例題(1)のように,an=Sn-Sn-1でn=1とした値と a,が一致するのは, Snの式でn=0とした とき So=0 すなわち n の整式 S,の定数項が0 となる場合である。もし,Sn=2n°-n+1(定数 項が0でない)ならば、a」=S,=2, an=Sn-Sn-1=4n-3(n22)となり,4n-3でn=1とした 値とa,が一致しない。このとき,最後の答えは「a,=2, n22のとき a,=4n-3」と表す。 練習 初項から第n項までの和 Sn が次のように表される数列 {an} について,一般項 107 | an と和a,+a;+art…+asn-2 をそれぞれ求めよ。 (1) S=3n°+5n (2) S=3n?+4n+2

すみません、この不定積分の求め方が分からなかったので、教えて頂けるとありがたいです🙇‍♀️

次の関数の不定積分を求めよ. 2 (1) tan'.r - tan?.r