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2章
重要 例題 69 球面の方程式 (2)
(1)次の方程式はどんな図形を表すか。
x2+y2+22+6x-3y+z+11=0
(2) 4点(0,0,0) (600) (04, 0, 0, 0, 8) を通る球面の中心の
座標と半径を求めよ。
CHART & SOLUTION
球面の方程式(x>0,A'+B'+C> 4D とする)
p.122 基本事項
1 中心が (a, b, c) 半径がr(x-a)+(y-b)+(z-c)2=r2
2 一般形 x+y+22 + Ax + By +Cz+D=0
(1)(x-a2+(y-b)2+(z-c)2=r2の形に変形する。
(2)条件の4点の座標に0が多いから、2の一般形から求めるとよい。 そして, (1) のよう
に変形する。
6
座標空間における図形, ベクトル方程式
(1) 与えられた式を変形すると
(x+6x+3)+{y-3y+(1/2)}+{2+2+(1/2)
(1)x,y,zの2次式をそ
れぞれ平方完成する。
0=
3
=-11+32+|
+32 +(1/2)+(1/2)2
ゆえに (x+3)+(2)+(z+/12)-(12/12)
平方完成の際に加えられ
た定数項を右辺にも加え
る。
したがって 中心(-3.1428-1/12) 半径 1/12 の球面
(2) 球面の方程式を x2+y2+22 +Ax+By+Cz+D = 0 と
すると
②の方針。
ゆえに
A=-6, B=-4,C=8
したがって, 球面の方程式は
D = 0, 36+6A+D = 0, 16+4B+D = 0, 64-8C+D=04点のx座標, y 座標,
Z座標をそれぞれ代入
する。
x2+y+z2-6x-4y+8z=0
これを変形して
よって
(x2-6x+32)+(y2-4y+22)+(z2+8z+42)=32+2+42
(x-3)2+(y-2)+(z+4)=(√29)
ゆえに 中心の座標は (3, 2, -4), 半径は 29
inf. この問題の場合, 中
心の座標を (a, b, c) とし
て,中心と4点の距離が等
しいことから求めてもよい。
PRACTICE 69
(1) 方程式 x2+y+z-x-4y+3z+4=0 はどんな図形を表すか。
(2)4点0(0,0,0), A(0, 2, 3),B(1, 0, 3), C(1,2,0) を通る球面の中心の座標
と半径を求めよ。
[(2) 類 九州大]
