波線で引いた所って、X＝t－5ではないのでしょうか？

基本例題110 媒介変数と軌跡 0000 放物線y=x2+ (21-10)x-At+16の頂点をPとする。 tが0以上の値をとって 変化するとき、頂点Pの軌跡を求めよ。 指針のを1つ定めると放物線が決まり。 頂点も定まる。 例えば y=x²-10x+16, 頂点(5, -9) y=x2-8x+12, 頂点 (4.4) y=x²-6x+8, 頂点 (3,-1) y=x2-4x+4, 頂点 (2,0) y=x²-2x, 頂点 (1, -1) 10 のとき t=1のとき t=2のとき 1-3のとき 解答 4のとき → このように考えていくと、右図から頂点Pの軌跡は放物線の 一部らしいことがわかる。 y=x2+(2t-10)x-4t+16 ={x+(t-5)}^-(t-5)-4t+16 ={x+(t-5)}^-f2+6t-9 ={x+(15)-(t-3)² よって、放物線の頂点Pの座標を(x,y) とすると y=-(t-3)2 ①から ②に代入して ...... t=5-x 頂点の座標を(x,y) とすると, x=(tの式), y=(tの式) と表される。 x=(tの式),y=(tの式) から 変数t (p.168で学習したつなぎの文字と同じ)を消去し て,x,yの関係式を導く。 なお、10の条件に要注意。 y=-{(5-x)-3} =-(x-2)^ また、 ≧0であるから したがって x≤5 よって、求める軌跡は, 5-x≥0 放物線y=-(x-2)のx≦5の部分 ya 0 #108 2 11. 3* +-3 026 -6 16 1-0 x tを消去。 ⑩ 2次式は基本形に直す 放物線y=a(x-p)^'+qの 頂点は(p,q) 171 xyはtの式で表される。 tの値に制限があるから, x, の範囲にも制限がある。 これを調べる。 3章 18 軌跡と方程式

x=a(1-t²)/1+t²を示したいのに私の計算ではx=-t²a/t²+1と出てきてしまいます。どこが間違っているか教えて欲しいです。

(1) a>0とする。点(-4, 0) を除く円x2+y2 = a²は媒介変数を用いて x= a(1-1²) 2at 1+12 1+t2 と表されることを,直線y=f(x+α)との交点を考えることにより示せ。 2²+ (tx+ tw)² = a ² x² + t²x² + 2 t²al + t²a²-a²=0 2² (t²¹+¹) + 2t²ax + a² (t²-1) = 0 2t²a t²-1 x2+ a² = 0 t²+1 x+ EX ^= - ta t²+1 y= (²+1 ← J = C (x+a) ₂ Fix 2 20.a ←再辺ビルで割る 2 ta 2 = (x + t^)² - (+a) ² + + a²-0 t t²+1 -? ←平方完成

解説お願いします🙇🏻‍♀️

13 曲線の媒介変数表示が次の式で与えられているとき,4をもの関数として表せ。 dx (1) x=t3-1,y=2t2 (2) x=t2+1,y=t-t2+1 (3) x=2cost, y=5sint

軌跡についての質問です。(教科書の問題です) s.tの値を①に代入すると点Pの軌跡が求まるのは何故ですか？

) 応用点Qが円x2+y²=4 上を動くとき,点A(4, 0) と点Qを結ぶ線 例題 5 分AQの中点Pの軌跡を求めよ。 2 考え方 P(x,y), Q(s, t) とする。 Qの満たす条件を表す stの式と, PとQ の座標の関係式から,x,yの方程式を導く。 解答 点P,Qの座標を,それぞれ (x,y), (s,t) とする。 Q は円x2+y2 = 4 上にある から s2+t2=4 ① S.tを また,Pは線分 AQの中点で消したい。 あるから t x=$+4, y = 1/ 9 2 2 X= YA Q(s,t) 2 s=2x-4,t=2y -2 0 -2 -P(x,y) 2 A 4x すなわち (2x-4)²+(2y)=4 これらを①に代入すると 整理すると (x-2)2+y2=12 よって, 点Pは円 (x-2)2+y^=12上にある。 逆に,この円上のすべての点P(x,y) は,条件を満たす。 したがって 求める軌跡は, 点 (2, 0) を中心とする半径1の円で ある｡ Imk. Ind 図形と方程式

数3 直線群と媒介変数表示 いきなり赤で囲ったところの式が登場していますが、何を求めたらこの式が出てくるのか分かりません。教えていただきたいです。

B 直線群と媒介変数表示 15 放物線y=4px を媒介変数を用いて表してみよう。 直線y=2pt を考える。 t の値が変化す るとき, これらの直線はx軸に平行な直線 群を表し、各直線y=2pt と放物線の交点 をP(x, y) とすると 20 x=pt2, y=2pt これは,放物線y=4px の媒介変数表示で ある｡ yA 2pt P(x,y) pt² 練習 上と同様に考えて、次の放物線を媒介変数t を用いて表せ。 25 (1) y2=4x (2) y2=-8x

この問題の(3)で、xもyもsinθとcosθがそれぞれ入っているので、２枚目の写真のように定義域を考える必要があると思ったのですが、答えには定義域については書かれていませんでした。 なぜこの問題では定義域について考える必要が無いのですか？

基本例題 72 曲線の媒介変数表示 ① 次の式で表される点P(x,y) は,どのような曲線を描くか。 malo の部分 COOR (3) x=t+1 ((1)) { x = (2)) のとりうる値の範 ly=√t EX 00000 の x=2++2-t y=2¹-2-t $1 p.129 2 x=cose lysin²0+1 ( ly=4sin0+1 x=3cos0+2 10,2 (4) 1

媒介変数ってなんですか？

初歩的な質問ですいません この問題の(１)で、双曲線と直線の公転の座標をtで表すことが、何故双曲線を媒介変数表示したと言えるのですか？この直線はどんな直線、または曲線などでも良いのでしょうか？

変数表示 3700000 (1) 双曲線x-y2=1と直線y=-x+tとの交点を考えて, この双曲線を媒介変 数 tを用いて表せ。 (2) t を媒介変数とする。x=3 形を表すか。 J= 3 1+t2 指針(1) x,yをtで表すために、2つの方程式をx,yの連立方程式とみる。 3t 1+t2 ここで,交点が存在するためには, 双曲線の漸近線の1つが直線y=-x であることか ら直線y=-x+tでt=0 となることも必要。 (2) x= からtをxで表して, yの式に代入するのでは大変。 ここでは, =tx とみることがポイント。 =t• ...... 3 1+t2 解答 (1) x2-y2=1 ②を①に代入して整理すると 双曲線と直線の交点が存在するためには ゆえに t2+1 2t x=- ①, y=-x+t これを②に代入して Toat t2+1 2t ①. 1+t²⁹ y= y=- したがって x= 3 2) x=- 1+t ①を②に代入して y=tx y= 9 y=- 3t 1+t² これを①に代入して整理すると x=0であるから ③ に x=0を代入すると ...... t2+1 2t t²-1 2t 2tx=t2+1 x2+y²-3x=0 3t 1+t2 ② とする｡ +t= ...... で表された曲線はどのような図 ■p.134 基本事項 ① t=0(*) j t²-1 2t ・②とする。 ①より, x=0であるから t=2 (Onia(d+) x x(x2+y2-3x)=0 y=-x AY (x,y) ① (K,x)=TO (6-YA)=50 y 3-2 O 0 (*) 2tx=t2+1 で t=0 とす ると 0=1 となり,矛盾が生 じることから, t≠ 0 を導いて もよい｡ 3 N/W 32/2 y=x ---- (x,y) 135 IRO y=tx_ 3x y=0 3 9 よって,円(x-212) 2+y=1/27 の点(0, 0) を除いた部分。 例題(1)では、双曲線の番近線に平行な直線y=-xtf(t0) と双曲線は交点を1つだけも

X^2＋Y^2＝r^4 を　x^2＋y^2＝(r^2)^2 にする計算過程を教えて欲しいです。 (r ^2)^2にしなくてもいいですか？

100 基本例題 62 媒介変数の利用 (軌跡) 00000 一 定円 x2+y2=r2 の周上を点P(x,y) が動くとき, 座標が(x-y2, 2xy) で ある点Qはどんな曲線上を動くか。 p.94 基本事項 2. 基本 6C W TO SOLUT! CHART OLUTION 媒介変数の利用 #RORS30 3= 2次曲線上の点は媒介変数表示が有効 HAMSTIPAL a 円の媒介変数表示 x =rcose, y = rsine を利用する。 点Qの座標 (X,Y) も0で表してから, 媒介変数0を消去して X, Y の関係式を 導く。 lepa 解答 ①x2+y2=2 から x=rcose, y=rsin0 (0≦0<2π) と表さ|円の媒介変数表示。 れる。 Qの座標を(X,Y) とすると X=x²-y²=r²(cos²0—sin²0) = - JUSS =r² cos 20 edit I=(1+ Y=2xy=2rcos 0·rsing) ** [=³(+1 =r2sin20 -X=0 cos A, よって X2+Y2=r*(cos220+ sin²20)=r, 0≦20<4π ゆえに,点Qは円x2+y2 = (r-2)2の周上を動く。 別解 Qの座標を(X,Y) とすると X=x2-y2, Y=2xy X2+Y2=(x2-y2)2+(2xy)²=x+2xy+y^ =(x2+y2)2=(n2)2 ²4 net 30 よって,点Qは円x2+y2=(m2) 2 の周上を動く。 - 1+1 Y=□sin △の形→ sin²+ cos²^=10) } (-x) x-50185 1+x $64 17x 所用。

mを消去したyの式が座標の軌跡になる理由？というか、原理を説明してほしいです

●50 第3章 図形と方程式 218 tが実数全体を動くとき、次の点(x,y)はどのような図形上にあるか。 (2) x=2t-1,y=t-t+3 (1) x=t+1,y=-3t+2 *219m が実数全体を動くとき, 放物線y=x²-2mx+1 の頂点Pの軌跡を求めよ *220 直線 y=2x+k が放物線y=3x-x2 と異なる 2点P, Qで交わるとする。 (1) 定数kの値の範囲を求めよ。 また, 線分PQの中点の座標をk で表せ (2)の値が変化するとき, 線分PQの中点の軌跡を求めよ。 <発展問題 例題22m が実数全体を動くとき、 次の2直線の交点Pの軌跡を求めよ。 x+my-1=0, mx-y+2m=0 指針 解答 2直線の交点の軌跡 → 2直線の方程式から m を消去して, x, vの関係式を導く。 2直線の方程式を変形し