右辺と左辺が=にならないのですがどうしてですか？教えてください。

3-1 98 nは自然数とする。 1 +3 +32 +･ +3n-1= が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証 2 明せよ。 (25点) →教 p.44 例題 13 この等式をAとすると、 [1] n=1のとき 左辺=1.砂辺=1 よってこのときAは成り立つ。 [2]η=声が成り立つと仮定すると a(m^-1) 1+3+343 3x+1 となる 2 £ n=1のときの左辺なの (左辺)=(+3+34 3. ---3-3-1 (右)= 2 1134-1) 34-1 3-1 2

(1)の答えで、 2枚目の写真の左の式を使っても大丈夫ですか？

3 定義、公式の証明- (1) 関数f(x)のx=αにおける微分係数の定義を述べよ。( (2) 関数f(x), g(x) が微分可能であるとする. 積の微分公式 {f(x)g(x)}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を証明せよ. 宮崎大 (3) f(x)=x"(n=1, 2, 3, に対し,f'(x)=nzn-1であることを,数学的帰納法により IS (上智大理工) せ 定義をしっかり押さえておく 「連続」「微分可能」の定義をしっかり押さえておこう(p.34) 連続とはグラフがつながっている, 微分可能とはグラフがなめらか,というグラフのイメージをきち んと定式化したものである.なお,r=αで微分可能であれば, x=αで連続である.これは, f(ath)-f(a) lim{f(a+h)-f(a)}=lim ・h=f' (a) •0=0 ∴ limf(a+h)=f(a) h→0 h→0 h→0 と示すことができる. 逆は成り立たない (反例は,f(x)=|x-al). 公式を証明できるようにしておく 教科書に載っている公式を証明せよ,という意表をついた出題 もある。定義から微分の公式を証明させる問題が多いので,教科書で確認しておこう)() 解答する (9) + f(a+h)-f(a) (1) 極限値lim- h→0 x=αにおける微分係数といい、f'(α) と書く. が存在するとき,この値を関数f(x) の この極限値が存在するとき,関数 f(x)はx=αで微分可能である という. (2) f (x+h)g(x+h)-f(x)g(x) ①

問題44の(3)や、問題45の(2)のような式変形を、こんな天才的な発想出来ないでしょ！と思うのは僕だけでしょうか。解説を見れば何をしているのかはわかるのですが、問題によってやり方も様々で、慣れとかでどうにかなるものなのかと思ってしまいます。 何かコツや、式変形の対応デッキ... 続きを読む

基礎問 76 MAN AV 44 はさみうちの原理(I) 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nに対して, 2">n を示せ. (2) 数列の和 Sm= (1)をnで表せ。 (n=k(k≧1) のとき,2">k と仮定する. 両辺に2をかけて, 22k ここで, 2k-(k+1)=k-1≧0 (≧1 より) ..2'+'>2k≧k+1 すなわち, 2+1>k+1 よって, n=k+1 のとき, ① は成りたつ. (i), (ii)より, すべての自然数nについて, 2">n は成りたつ. (3) lim Sm を求めよ. (1) 考え方は2つあります。 ... 1 2 n (2) Sm = + 4° 4' +・・・+ ...... ② 4"-1 1/Sn= 1 n-1 n +・・・+ + ......3 4₁ 4"-1 4" ② ③ より 3 (IIB ベク4 ) Sn= + 1 1 n -(+) +...+ n 4' 4"-1 -Sn= 4 1 4" I. (整数)” を整式につなげたいとき, 2項定理を考えます。 II. 自然数に関する命題の証明は数学的帰納法. (IIB ベク137 (2) 本間のΣの型は, 計算では重要なタイプです. (IIB ベク121 S=Σ(kの1次式)rk+c (r≠1) は S-S を計算します。 (3) 極限が直接求めにくいとき, 「はさみうちの原理」 という考え方を用います。 bn≦a≦cm のとき .. Sn= n (3)(1)より2">n だから, (2")'>n . 4">n²=0<< 20< n 4 4-1 n lim40 だから、はさみうちの原理より lim 11-∞ n n - 4-1 -=0 limb= limcn=α ならば liman = α →00 11-00 この考え方を使う問題は,ほとんどの場合, 設問の文章にある特徴がありま す. (ポイント) さらに, lim lim (14) "=0 より lim.S,=- 16 11-00 9 「ポイント 解答 (1) (解Ⅰ) (2項定理を使って示す方法) (x+1)"=2,Chr" に x=1 を代入すると k=0 2"=nCo+mCi+nCz+... +nCn n≧1 だから 2"≧Co+nCi=1+n>n .. 2">n (解II) (数学的帰納法を使って示す方法) 2">n ...... ① (i) n=1のとき (左辺) =2, (右辺) =1 だから, ①は成りたつ 演習問題 44 極限を求める問題の前に不等式の証明があれば, はさみうちの原理を想定する 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nについて, 不等式 3"> n" が成りたつこと 数学的帰納法を用いて証明せよ。 "k =215730 (n=1,2, …) とおく。このとき, (2) Sm= 2 k=1 1 n 3 3+1 (3) lim Sm を求めよ. 11-00 が成りたつことを示せ. CS CamScanner 第4章

この問題の解説なんですが、解答2のまずのあとの式がどこからきたのかなんなのか分かりません。 教えてください🙇‍♀️

列 (504) 第8章 数 例題 B1.44 連立漸化式 a₁ =1, b₁=3, an+1=3an+bn **** ①, bm+1=2a+4b......2 (三重大・改) a. のみの式で表すことができ で定義される数列{am}, {bm} について, 一般項 a, b を求めよ. Colan

極限値を求める時に （1）だと、 なぜan＋1、anにそれぞれα（極限値）を代入していいんですか？？ 感覚的にやってしまっていて、ふと考えたら分からなくなってしまって、、、教えて欲しいです。

基本 例題 021 有界で単調増加する数列の収束と極限 次の数列が有界で単調増加であることを示し,極限を求めよ。 (2) a1=1, an+1 = (1) α1=1, An+1=van+2 3an+2 an+1 指針 単調で有界な数列は収束することを使う。 単調に増加することを示すには, an+1>a であることを示せばよい。 (1)(2)とも数学的帰納法で示される。 3an+2 (2). を+ (pg は定数)の形に変形する。 an+1 an+1 基本0 次に (1)(2)とも,上に有界であること, すなわち an≦α を示すのであるが,(2)は上記の 変形から an<3がわかる。 (1) は an≧1 と α=√a+2 の解から an<2と予測する。そしてす。 ての自然数nについて an<2であることを,数学的帰納法で示す。 CHARTの問題 数学的帰納法が有効 証明しにくい問題 結論からお迎えする 解答 (1) 数列{an} が単調に増加することを示す。 [1] n=1のとき a2= √3 >1=α であるから成り立つ。 [2] n=kのとき, ak+1 ak であると仮定すると ak+2= √ak+1+2> √ak+2=ak+1 数学的帰納法。 仮定 ak+1 > から。 よって、すべての自然数nについて an+1>an であるから, 数列 {az} は単調増加列である。 次に,数列{az}が上に有界であること, すなわちすべて の自然数nについて <2であることを示す。 [1] n=1のとき α = 1 <2であるから成り立つ。 [2] n=kのとき, ak<2であると仮定すると ak+1=√ak+2<√2+2=2 よって, n=k+1のときも成り立つ。 したがって, すべての自然数nについて, an <2である。 更に, α =1であるから, 1≦an<2となり, 数列{an} は 有界である。 ゆえに,数列{az}は,有界な単調増加列であるから収束 する。 「極限値をαとすると, a≧1 で ①の両辺を2乗して整理すると これを解くと α=-1,2 α=√α+2 「an<2 の 「2」は、下の ①の解から予測した。 数学的帰納法。 仮定 k <2から。 ① 1≦an から。 a²-a-2=0 αであるから, α=2 (① を満たす。) よって、 数列 {an}の極限値は 2 数列{a} の上限 。

解答のところでシャーペンで①②と書いているところについてそれぞれ質問したいです。 ①a＞2のaは何を表していますか？ anのことですか？？ a＞2がan＞2のことを示しているのならばa1＞２ということは理解できますが、間違っていれば教えて欲しいです。 ②なぜan－an－... 続きを読む

3 単調数列とコーシー列 25 SO ★★ 基本 例題 020 数列の発散と収束する数列の有界性 α>2として,数列{a}を次のように定める。 (本 a=a2-2, an+1=an2-2 この数列は正の無限大に発散することを示せ。 指針 数列{an} が単調に増加することを示す。 解答 収束する数列{a} は有界である。 2より a2 数列{a} が正の無限大に発散することを示すために, bn= 1 束することを示す。 このことは,次の定理により示される。 定理 収束数列の有界性 として, 数列{6} が 0 に an PD (称号の向きは変asaz 262 以下, 帰納的にすべてのnに対して an>2 単調減少 an-an-1=(an-12-2)-an-i= (an-i+1) (an-1- -1-20 よって, 数列 {az} は単調に増加する。 ancian. (+(-2) 271-2) bn=- とおくと, 数列{6} は単調に減少する。 bn 1 an また,すべてのnに対してb>0であるから,数列{bm}は下に有界である。 よって, 数列{bn} は収束するから,その極限値をβとする。 an>2より bn<- 2 21 an=12-2より1_1 (正の内に発話していること。 b2-2であるから bn-12-bn-2bn bn-12 B2=β-233 より β(β+1)(2β-1)=0 [n] 06/1/23より β+1>0, 2β-1<0 よってβ=0 [s) これはliman=∞ であることを示している。 n→∞ 参考 定理 収束数列の有界性の証明 lima=α とする。 このとき、ある番号Nが存在して, n≧Nであるすべてのnに対して N11 |an-α| <1 となる。 三角不等式により|an|-|a|≦|an-αであるから,n≧N であるすべてのnに対して|an|<|a|+1 が成り立つ。 ここで, M=max{|a|+1, |a|,|az|,......., | av-1|} とする。 このとき,Nの場合も、n<N の場合も |an | ≦M が成り立つ。 よって, 数列{an} は有界である。 注意 この逆は正しくない。つまり数列{az}が有界であっても、収束するとは限らない。例えば、 =(-1)" で定義される数列{an} は-1≦a≦1から有界であるが,振動するから収束しない。

（2）の解答のところで ①と書いてるとこ見て欲しいのですが、（1）より〜であるから のあとの式が理解できません。どうやってこうなったのか分からないので教えて欲しいです。

E: 24 第1章 実数と数列 13 単調数列とコーシー列 基本 例題 019 有界で単調減少する数列の極限 基本 例題 次の条件で定められる数列{an} について、以下のことを示せ。 >2として, a a1=2, an+1= = (a 2 - (n=1,2, 3, ......) この数列は正 (1) すべてのnについて 2 (3) 数列{an} は√2 に収束する。 (2) 数列{az} は単調に減少する。 指針 数列{an 数列{α 1つである。 指針 この漸化式はニュートン法(p.96 参照) によって構成され,近似値 2 束する (1)帰納的にan>0であるから,相加平均≧相乗平均の関係を利用する。 (3) はさみうちの原理を利用して, lim|an-√21=0 を示す。 72-00 2を与える計算 定理 収 解答 α>2 an+1= 解答(1)α=2>0であり、漸化式の形から,すべての自然数nについてan>0である。 よって, 相加平均と相乗平均の関係から、任意の自然数nについて 以下 よ an+ an +2)=1.2√a. 2-√2 br ano an =2√2 であるから、すべてのnについて (2) 任意の自然数nについて an+1-an= - ½ (an+2)-an-³ 2-an² 2am 2-an 2≤0 (1)より、≧2であるから ゆえに an+1-an≤0 よって, an+1≦an であるから, 数列{an} は単調に減少する。 (3) 与えられた漸化式により an+12 an2-2√/2an+2 2an (an-√2) 2 2an an-√2 (an-√√2) 参 2an (1)より,0≦- an-√√2 2an an 1 であるから 2an 2 よって anti-√2 (an-√2) S 0san-√2(1)(a-√2) lim (12) (a-√2)=0であるから 8218 liman=√2 818

数Bの問題です。赤でマークアップした部分になる理由がわかりません。解説よろしくお願いします🙇

✓ 135 次の条件によって定められる数列{an}がある。 (10点×2) a=1, an+1+an=4n (n=1,2,3, ･･････) (1) a2, α3, 4, α5 を求めよ。 ? (2) 一般項 an を推測して, その結果を数学的帰納 法によって証明せよ。

証明を教えていただきたいです🙇‍♀️

nは自然数とする。 5"-1=(4+1)-1 と変形することで, 5"-1が4 の倍数であることを,二項定理を利用して証明せよ。

数列{aₙ}が a₁=1, a₂=3, aₙ₊₂=3aₙ₊₁²-6aₙ₊₁aₙ+3aₙ²+aₙ₊₁ (n=1,2,...)を満たすとする。また、bₙ=aₙ₊₁-aₙ (n=1,2,...)とおく。 bₙ (n=1,2,...)の一の位の数が2であることを数学的帰納法を用... 続きを読む