n=1を入れたらa1と一致したので言ってることはあってると思うのですが、答えの順番とかマイナスの位置はこれでも大丈夫ですか？？

a=3, an+」=2an+3"+1 によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 1 (n)に nが含まれない ようにするため, 漸化式の 両辺を qで割る。 564 基本 例題118 an+ュ=D pa,tg"型の漸化式 OOO0。 【信州大) 基本116 基本124,Y8、 2.0n+Lー(n)=- となり,nが含まれない。 9 g" an+1 q 指金 1 bn+1=2b。+ q q an 2 -=Db, とおくと bn+1=●b,+ Aの形 に帰着。 b.560 基本例題116と同様にして一般項 b, が求められる。 dn +▲の形を導き出す。 an+1 例題は,漸化式の両辺を3"+1 で割り, 37+1 3" CHART 漸化式 an+1=pa,+q"両辺を g"+1 で割る 解答 an+1=2an+3"+1 の両辺を 3"+1 で割ると 2 an +1 2an 37+1 2 an an+1 37+1 3 37 3 3" 2 bn+1= - bn+1 3 an+1 =bn+1 37+1 an = bn とおくと 3" これを変形すると bn+1-3=-(b-3) 特性方程式 2 α=a+1から a=3 3 また b」-3= a1 ー3= -3=-2 3 3 2 よって,数列{bnー3} は初項 -2, 公比号の等比数列で ゆえに -3-2() 2」カ-1 An n-1 bn-3=-2 3 2 3-21 0 =3"+1_3·2" n-1 したがって 43"-2 n-1 An =3-3リ-イ,2.27-1 3-イ 参考 an+1=2am+3"+1 の両辺を2"+1 で割ると an+1 27+1 an ニ 3 \n+1 2" 2 an -= bn とおき, 階差数列を利用して解く方法もある(解答編p.413 を参照)。 2"

テストでこれだけしか書かなくても丸って貰えますか？？

560 基本 例題116 an+1=Dpa,+q型の漸化式 UF 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 a=6, an+1=4anー3 重要120, 基本129,132 ここまで, p.558 基本事項 (2] 3 An+1 指針> an+1= pan+q(カキ1, qキ0) の形の漸化式から一般項を求めるには, p.558基本事項の 解説ので紹介した, 特性方程式を利用 する方法が有効である。 本間では, α=4a-3 を満たすαに対して, 次のように変形する。 新化式か an+1=4a,-3 a an+1-α=4(anla) α=4a-3 an+1-α=4(a.-a) CHART 漸化式 an+1=pa,+q 特性方程式 α=patqの利用 解答 Aa=4a-3の解は α=1 なお,この 特性方程式を 解く過程は, 解答に書かな くてよい。 an+1=4an-3を変形すると an+1-1=4(an-1) bn+1=4bn, b.==a-1=6-1=5 よって,数列{bn} は初項5,公比4の等比数列であるから ゆえに an=bn+1=5·4"1+1 an-1=bn とおくと bn=5-4"-1 慣れてきたら, an-aのま ま考える。 別解 an+1=4an-3 のでnの代わりにn+1とおくと an+2=4an+1-3 の-0から an+2-an+1=4(an+1-an) 数列 {an} の階差数列を{bn} とすると 定数部分(「-3」) を消去。 bn+1=46m, bi=Q2-a=(4·6-3)-6=15 よって,数列{bn}は初項15, 公比4の等比数列であるから Aa2=4a:-3 bn=15·47-1 ゆえに, n22のとき n22のとき 15(4"-1-1) n-1 an=Q」+ 2154k-1=6+ n-1 an=a+2b。 k=1 4-1 =1 =5-47-1+1 n=1のとき 5-4°+1=6 a;=6 であるから, ③ はn=1のときも成り立つ。 したがって a,=5-4"-1+1 ① 初項は特別扱い (*)で数列{b}の一般項を求めた後は, 次のようにするとこの計算をしなくて済む。 (*)から 参考 an+1-an=1547-1 のを代入すると (4a-3)-an=15·4"-1 したがって a,=5-4-1+1

①②のとこなのですが、これって(-3)のn-1乗なのかそれとも-(3)のn-1乗なのかどっちなのですか？？ 回答にはこの赤のように書いてあって分かりません。教えてほしいです！

ドターン10 an+2=pan+1+qam 【隣接3項間) <解法> 特性方程式 t2=pt +qの解a, βを用いて変形 (例題8) の a=a2=1, an+2= 5am+1-6a , 2 て-5t-6 t-5t+6=0 (T-2)(t-3) -0 t-2,3. - 2antl = 3( ante- 2an) 3amrl ant2 bnri = 3bm bi= Qe-2a1= -1 anrz = 2(anri -3an) Cutl>2 Cm Ci-ae-3ai2- 2 bn= (-1).3"-/ bn=-3h-l Cn: (-2).2^-1 - 2m anti -3an = - 2" の anti-2an=-3"- の 0-Q ェリ an= 2"-3^-1 H

変換の仕方がわかりません💦 至急お願いします

→数p.103 発展 例 0 245 /a=0, az=1, an+2=2an+1+15an

bn+1=3bn+2 ↪︎bn=4×3n-1乗-1 この変形が分からないです。 特性方程式を使うと言っていましたが、よく分からなかったので途中式を頂きたいです。

An 20n+3 ai=5 an+」 = 3 +2 An (anキ0)重!! ニ antl br+l = 3bn+2 bn=mとする an .. bn=4·3"-1-| と=4-3--| =4-31-L| .an=49 On 登録

a(n+1)とa(n)は違う数なのに何故同じ文字で置けるのかわかりません。

③ an+1=pantqの形 か aは定数で, pキ0, カキ1とする。数列 {an} について, 漸化式 an+1= pantq と初項a」が与えられたとき, 一般項 an を求める方法を考えよう。 ①に対して, 等式 5 c=pc+q 2 an+1= pantq を満たす定数cを考える。①-②から C= pc +q an+1-C=p(an-c) an+1-C=p(anーc) よって,数列 {anーc} は初項 a」-c, 公比かの等比数列であり, このこと 10 を利用して, 一般項 an が求められる。 例えば,漸化式an+1=3an+2は, c=3c+2を満たす定数c=-1を用 いて, an+1+1=3(an+1) と変形することができる。このことを利用し て,次の問題を考えてみよう。 0)

数列の漸化式です。赤線を引いたところの意味がまったくわからないので教えて欲しいです！

0において, an+1=0 とすると an=D0 であるから,an=0 とな また,逆数を考えるために, anキ0 (n21)であることを示しておく。 an+1= pa,tq 型の漸化式 本例題11 565 によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 an An+1= 4an-1 【類早稲田大) 基本116 のように,右辺の分子が anの項だけの場合の解法の手順は an 新化式 an+1 の の新化式の 両辺の逆数をとると pantq an+1 4 an 1= bn とおく と 2 bn+1=p+qb» an 3章 ba=●b,+▲ の形に帰着。 15 TANO an 両辺の逆数をとる pantq CHART 瀬化式 an+1= 答 an のとする。 Ir+1 4an-1 Aan=0 からan-1=0 るnがあるど仮定すると an-1=Qn-2=… =ai=0 これから an-2=0 以後これを繰り返す。 (キ0)であるから,これは矛盾。 ところがa 三 5 よって、すべての自然数nについてanキ0 である。 逆数をとるための十分条件。 1 11 -=4- 1 4an-1 0の両辺の逆数をとると an+1 an an+1 an いい ニ=Dとおくと bn+1=4-bn (特性方程式 これを変形すると bn+1-2=-(bn-2) α=4-aからα=2 また b-2=--2=5-2=3 a1 りえに、数列{bn-2}は初項3, 公比 -1の等比数列で b,-2=3·(-1)"-1 すなわち bn=3-(-1)"-"+2 bn= an という式の形から したがって 1 an bn3-(-1)"+2 bnキ0 D d先 ol0gof , 漸化式と数列

2問目の問題がわかりません。

2 1. 微分方程式+ 1 の一般解と,初期条件 y(1) = 1のもとでの特殊解を求めよ。 リ= 3 2. 微分方程式 y" - 2y' + 5y = 0…(E) と,関数 y1(z) = e" sin 2.z, y2(z) = e" cos 2.r とする。 (1) y1, 92 が (E) の解であることを示せ。 (2) nと 2 は任意の区間Iで線型独立であることを,ロンスキー行列式を使って示せ。

青の波線の所はどうやって求めますか？

8次の条件によって定められる数列 {a,}の一般項を求めよ。 1 (2) a1=1, an+1=an+2 (4) a1=0, 2an+1-3a,=1 (2) 新化式から 1-3=a.-3) an+1-3=(a,-3) ゆえに, 数列 {a,-3} は, 初項 a-3=-2, 公比 の等比数列である。 七 一) n-1 よって 2 an-3=-2 an=3- 37-1 したがって 3 (4) 漸化式から 2 3 ゆえに,数列 {aォ+1}は, 初項 a」+1=1, 公比号の等比数列である。 2 したがって 4,=()-1 3n-1 3\ォー1 an+1= 2 よって 2

logで2枚目のような計算をしてしまったのですが､logの真数が×の形になっていたら2枚目のような計算はしては行けないと認識すれば大丈夫でしょうか？ また4とanをばらさない場合でも指数3を前に持ってくる(2枚目2行目)のもだめでしょうか？？

例題 294 漸化式 an+1°=par" a=2, an+i°=4a。 で定義される数列{an} の一般項 anを求めよ. : 料 第8章 「考え方 漸化式が an+i° や aなどの累乗の場合や, an に がついている場合, an+1Qn のよ うな積の場合は,両辺の対数をとるとうまくいくことが多い。 ここでは,aの係数 4(3D2") に着目して, 底が2である対数を両辺にとると, log2an+1°=log2(4a,)=log24+log2an° より, 21og2an+1=2+31og2Qm ここで,log2an= bn とおくと, 26n+1=36n+2 となり, 例題291 の形の漸化式となる。 a=2>0, an+1?=4a。より,すべての自然数nに対して, an>0 とるトら、中身が〇以上なのさ確認。 an+i°=4aについて, 底2で両辺の対数をとると, log2an+°=log24p。 21og2an+1=log24+31og2an より, 21og2an+1=31og2Qn+2 og2an= bn とおくと, 解答 下の注》参照 3 26n+1=36m+2 したがって,bn+1 3 =; 6n+1, より, これを変形すると, 2 3 2 まきたら、特生お援料 特性方程式 (bn+1+2=;(bn+2)) 0 TEめに変形 ここで、 bi+2=log2Qi+2=log22+2=3 α=e+1 を解くと, a=-2 h1で安心しない。 に、たがない。 322 のと b+2=3 より, 数列{bn+2} は, 初項 3, 公比一の 32-1 等比数列だから, 一般項は, bn+2=3(;) 12 3"224 2: 3" 3"-27 すなわち, -2= 27-1 27-1 2-1 n! bn= 2 3"-2" 27-1 37-27 よって, bn=log2Qn= より, an=2 27-1 Focus Lope ブーがだったら、 水ニ2' 漸化式 an+1°=かar は両辺の対数をとる 注》「a=2, an+1°=4an° のとき, すべての自然数について aォ>0」 について, a-4°=4-2°-32 より, az=±4/2