Question

ゆうか

テストでこれだけしか書かなくても丸って貰えますか？？

560
基本 例題116 an+1=Dpa,+q型の漸化式
UF
次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
a=6, an+1=4anー3
重要120, 基本129,132
ここまで,
p.558 基本事項 (2]
3 An+1
指針> an+1= pan+q(カキ1, qキ0) の形の漸化式から一般項を求めるには, p.558基本事項の
解説ので紹介した, 特性方程式を利用 する方法が有効である。
本間では, α=4a-3 を満たすαに対して, 次のように変形する。
新化式か
an+1=4a,-3
a
an+1-α=4(anla)
α=4a-3
an+1-α=4(a.-a)
CHART 漸化式 an+1=pa,+q 特性方程式 α=patqの利用
解答
Aa=4a-3の解は α=1
なお,この 特性方程式を
解く過程は, 解答に書かな
くてよい。
an+1=4an-3を変形すると
an+1-1=4(an-1)
bn+1=4bn, b.==a-1=6-1=5
よって,数列{bn} は初項5,公比4の等比数列であるから
ゆえに an=bn+1=5·4"1+1
an-1=bn とおくと
bn=5-4"-1
慣れてきたら, an-aのま
ま考える。
別解 an+1=4an-3
のでnの代わりにn+1とおくと
an+2=4an+1-3
の-0から an+2-an+1=4(an+1-an)
数列 {an} の階差数列を{bn} とすると
定数部分(「-3」) を消去。
bn+1=46m, bi=Q2-a=(4·6-3)-6=15
よって,数列{bn}は初項15, 公比4の等比数列であるから
Aa2=4a:-3
bn=15·47-1
ゆえに, n22のとき
n22のとき
15(4"-1-1)
n-1
an=Q」+ 2154k-1=6+
n-1
an=a+2b。
k=1
4-1
=1
=5-47-1+1
n=1のとき
5-4°+1=6
a;=6 であるから, ③ はn=1のときも成り立つ。
したがって
a,=5-4"-1+1
① 初項は特別扱い
(*)で数列{b}の一般項を求めた後は, 次のようにするとこの計算をしなくて済む。
(*)から
参考
an+1-an=1547-1
のを代入すると
(4a-3)-an=15·4"-1
したがって
a,=5-4-1+1

116
anti = 4an -3
Anti-l=4(am-lり
ここマ ai-1=6-1=5 より
an-1:5.4"-1
an=54++
1a.=6

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Clearnoteユーザー

記述なら、αn－1＝Bnとおくと は必要な気がします。なかなかこんな簡単な漸化式を記述で解かされることはないのでなんとも言えませんが、

ゆうか

なるほど、ありがとうこざいます

Answer 2

緋芽

全然大丈夫ですよ！

ゆうか

ありがとうこざいます！！