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重要 例題 21 ベクトルの大きさと絶対不等式
|||=1,|8|=2, 2 とするとき, ka+t6|>1 がすべての美数に
して成り立つような実数kの値の範囲を求めよ。
CHART SOLUTION
として扱う
k+161 は ka+t6 > 12 ...... ① と同値である。①を計算して整理する
と (tについての2次式)>0 の形になる。
この式に対し, 数学Ⅰで学習した次のことを利用し,kの値の範囲を求める。
の2次不等式 at + bt+c>0 がすべての実数tについて成り立つ
⇔ a>0かつb-4ac < 0
解
ka + to ≧0であるから, ka+t >1 は
|ka+t >1
①と同値である。
|kã+tb|²=k²|a|²+2ktā·b+t²|b|²
ここで
||=1,||=2=√2であるから
|ka+tb|²=k²+2√/2 kt +4t²
k²+2√√√2 kt +4t²>1
ここで
よって
したがって
よって, ① から
すなわち 4t2+2√2kt+k²-1>0
...... (2)
② がすべての実数tに対して成り立つための条件は2次
方程式 412+2√2kt+k²-1=0 の判別式をDとするとの
係数は正であるから
D<0
D=(√2k)²-4×(k²-1)=-2k²+4
-2k² +4<0 ゆえに
k<-√2,√2<k
k²-2>0
INFORMATION
上の CHART & SOLUTION で扱った絶対不等式は,関数
y=ate+bt+c のグラフが常に「t軸より上側」にある, と
して考えるとわかりやすい。
A> 0, B>0 のとき
A>BA¹>B²
問題の不等式の条件に
② がすべての実数
対して成り立つこと。
◆D< 0 が条件。
←(k+√2)(k-√2)
0
y=a+b+
[a>0b>b²-4ac0
PRACTICE・・・・ 21④
|a|=2,|6|=1,|a-6|=√3 とするとき, ka + to z2 がすべての実数に対し
り立つような実数kの値の範囲を求めよ。