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例題 157 空間図形の計量
BCの中点を M, ∠AMD = 0 とするとき,次のも
のを求めよ。
1辺の長さが2である正四面体 ABCD において,辺
B
(1) cose
(2) 正四面体 ABCDの体積V
(3) 正四面体 ABCD の外接球の半径R
(4) 正四面体 ABCD の内接球の半径r
次元を下げる
M
C
底面高さ
=1/2x
(2)V == × △BCD × AH
A
Hはどの位置にあるか?
(3) 立体のまま考えるのは難しい。
外接球の中心Oが含まれる三角形を抜き出して考える。
B
Action» 空間図形は、 対称面の切り口を考えよ
MH
(4)
四面体の
200
内接球の
半径の求め方
JA
三角形の
推
内接円の
JA
半径の求め方
思考プロセス
DAS nie
(1) △ABC, ABCDは1辺の長さ2の
正三角形であるから OA
CA
√√3
2
AM=√√3,DM=√3
△AMD において, 余弦定理により
(3)+(3)-22
2.3.3
60°
B'
M
D
M
C
1
3
H
√32
cose
AM²+DM²-AD²
ABH
(2)AB = AC = AD = 2より,頂点Aから底面 BCDに
垂線 AH を下ろすと,点HはABCDの外心である。
よって, 点Hは線分 MD 上にあり
AH = AMsind=AM√1-cos20
3
2
=√√√3
1-
2√6
よって V =
AH 1 MD
(2·2·2·sin60). 2√6 2√2
=
3
(3)正四面体に外接する球の中心を0とすると
3
OB = OC = OD より 点Oから底面 BCD に垂線 OS を
下ろすと,点Sも ABCD の外心となる。
(2)より,点HはABCD の外心であるから,点 0 は線分
AH上にある。
280
A
2.AM-DM
AABH AACH = AADH
BH = CH=DH
より
よって、点Hは正三角形
BCD の外心であるから,
H は BC の垂直二等分線
上にある。
1=
また
1. ABCD
3
・・△BCD・AH
ABCD
・BC・CD sin BCD
AOBS = AOCS AODS
より BSCS=DS
点と点Sは一致する。