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このように,書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな
(3と5の最小公倍数 15ずつ大きくなる。
と
n
基本 127,128
ものを求めよ。
の
3 で割ると2余る自然数は 2. 5. 8, 11, 14, 17, 20, 23,
15で割ると3余る自然数は 3,8, 13, 18, 23,
が共通の数。
8が最小である。
指針>
また,7 で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25,32, 39, 46, 53.
A, B から,求める最小の自然数は 53 であることがわかる。
の 8, 23, 38, 53, 68,
い(相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率的である。
解答
nはx, y, z を整数として,次のように表される。
n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4
3x-5y=1
注意 3x+2=5y+3
るをさい かつ 5y+3=7z+4
として解いてもよいが、係
x=2, y=1 は, ① の整数解の1つであるから 数が小さい方が処理」。
3(x-2)-5(y-1)=0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)
3と5は互いに素であるから, kを整数として, x-2=5k と表
される。よって
3x+2=5y+3 から
の
い。
x=5k+2(kは整数)
2
|(このとき y=3k+1
3(5k+2)+2=7z+4 T(3x-7z=2 から
3(x-3)-7(z-1)=0
ゆえに,1を整数として
2を3x+2=7z+4に代入して
ゆえに
7zー15k=4
ミ=-8, k=-4は, ③ の整数解の1つであるから-=¢ 十
7(2+8)-15(k十4)=0 すなわち 7(z+8)3D15(k+4)
7と 15 は互いに素であるから, しを整数として,a+8=15Z と
表される。よって
これをn=7z+4に代入して n==7(157-8)+4=105/-52) 8=a
最小となる自然数nは, 1=1 を代入して
x=71+3
これとx=5k+2を等置し
て 5k+2=7l+3
よって5k-7l=1
これより,k, Iが求められ
るが,方程式を解く手間が
53bom) 8S- 1つ増える。 -
ス=15/-8(7は整数)
(TE bom) ト
ちさ 88-ATE Sるす
検討)百五減算
ある人の年齢を3, 5, 7 でそれぞれ割ったときの余りをa, b, c とし, n=70a+216+15c とす
る。このnの値から 105を繰り返し引き, 105 より小さい数が得られたら,その数がその人の年
齢である。これは3, 5, 7 で割った余りからもとの数を求める和算の1つで,百五減算と呼はれ
る。なお,この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。
求める数をxとすると, x=a(mod 3), x=b(mod 5), x=c(mod7)であり,
0
58)+-33-802re
m1
n=70a=1·a=a=x(mod 3),n=21h=1:hib-
"S
