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里要例題7 整数の問題への二項定理の利用
OO000
kを自然数とする。2* を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは
2であることを示せ。
【類 千葉大)
重要6
指針> 2*=71+4(1は自然数) とおいてもうまくいかない。 ここでは,
kが 3q, 3q+1, 3q+2
ー3で割った余りが0, 1, 2
(qはんを3で割ったときの商)のいずれかで表されることに注目し, k=3q+2の場合だ
け2* を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。
例えば,k=3q のときは, 2*=29=8° であり, 8°=(7+1)° として 二項定理を利用すると,
2*を7で割ったときの余りを求めることができる。
解答
kを3で割った商をqとすると, kは 3q, 3q+1, 3q+2
のいずれかで表される。
[1] k=3qのとき, q21であるから
43で割った余りは0か1か
2である。
k=3, 6, 9,
2*=29=(2°)°=8°=(7+1)
=Co79+,C.79-1+……+Cq-1'7+,Cq
=7(Co79-1+C.79-2土 +Cl) +1
イ二項定理
は整数で、
よって, 2* を7で割った余りは1である。
[2] k=3q+1のとき, q>0であり
q=0すなわち k=1のとき
q21のとき 2=2°q+1=2-29=2-89=2(7+1)°
2*=7×(整数)+1 の形。
k=1, 4, 7,
イ二項定理を適用する式の指
数は自然数でなければなら
ないから, q=0とq21で
分けて考える。(*) は [1]
の式を利用して導いている。
k=2, 5, 8,
2=2=7·0+2
=7·2(Co7°-1+,C.7"-2+…+,Cq-1)+2(*)
よって, 2* を7で割った余りは2である。
[3] k=3q+2のとき, q20であり
q=0 すなわちん=2のとき
q21のとき 2*=2°q+2=2°-29q=4-89=4(7+1)
2*=2°=4=7·0+4
=7·4(,Co7°-1+C.7"-2+…+。Cq-1)+4
[1]の式を利用。
よって, 2* を7で割った余りは4である。
[1]~[3] から, 2* を7で割った余りが4であるのは, k=3q+2のときだけである。
したがって, 2*を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。
