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重要 例題 81
方程式の共通解
00000
2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数
解をもつように,定数kの値を定め、その共通解を求めよ。
CHART & SOLUTION
方程式の共通解
共通解を x=α として方程式に代入
基本77
2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式にx=α を代入した 20²+ka+4= 0,
a2+α+k=0が成り立つ。 これをα, kについての連立方程式とみて解く。 「実数解」という
条件にも注意。
解答
共通解を x =α とすると
2a2+ka+4=0 ... ①, a2+α+k=0
①-② ×2 から (k-2)α+4-2k=0
x=αを代入した①と
②の連立方程式を解く。
α2 の項を消す。
すなわち
(k-2)a-2(k-2)=0
よって
(k-2)(a-2)=0
ゆえに
k=2 または α=2
[1] k=2のとき
2つの方程式は, ともに x2+x+2= 0 ･･③ となる。
その判別式をDとすると
D=12-4・1・2=-7
D< 0 であるから, ③ は実数解をもたない。
共通の実数解が存在する
ための必要条件であるか
ら, 逆を調べ, 十分条件
であることを確かめる。
←ax2+bx+c=0 の判別
式は D=62-4ac
よって, k=2 は適さない。
[2] α=2のとき
②から 22+2+k=0
よって k=-6
がわか
をかくにん
このとき2つの方程式は
2x2-6x+4=0 ... D',
となり, ①'の解は x=1, 2
よって、確かにただ1つの共通の実数解 x=2 をもつ。
[1] [2] から k=-6, 共通解はx=2
x²+x-6=0
......
・②'
2(x-1)(x-2)=0,
②' の解は x=2, -3
(x-2)(x+3)=0
INFORMATION
この例題の場合, 連立方程式 ①,②を解くために,次数を下げる方針でαの項を消
去したが,この方針がいつも最も有効とは限らない。
下のPRACTICE 81 の場合は, 定数項を消去する方針の方が有効である。
PRACTICE 810
