数列の分野です。 画像の問題の、波線を引いてある所の式変形が、どうしてこのようになるのか分かりません。

592 基本 例題136 整数の性質の証明 G8 OOC 9べての自然数nについて、42n+1+3"+2 は 13 の倍数であることを証明せよ。 重要139 基本 135 指針> このような自然数nに関する命題では、数学的帰納法が有効である。 n=kの仮定 -→n=k+1 の証明 の過程においては, Nが●の倍数→N=©m (m は整数) を利用して進めることがカギとなる。すなわち 42k+1+3*+2-13m (m は整数)とおいて一n=kの仮定 42(k+1)+1+3(k+1)+2 が13×(整数)の形に表されることを示す。 ーn=k+1の証明 このように,数学的帰納法の問題では, n=k+1 の場合に示すべきものをはっきりつかん でおく ことが大切である。 解答 「42カ+1+3"+2 は 13の倍数である」 を①とする。 4°1+1+31+2=64+27=91=13·7 [1] n=1のとき い よって, ① は成り立つ。 [2] n=k のとき, ① が成り立つと仮定すると 42k+1+3*+2-13m(m は整数) の (42k+1+3*+2 は 13の倍数。 とおける。 n=k+1のときを考えると,② から 42(k+1)+1+3(k+1)+2=4°+42k+1+3k+3 =16(13m-3*+2)+3*+3 =13·16m-(16-3)·3*+2 =13(16m-3*+2) (2から 4k+1=13m-3k+2 これを代入。 16m-3k+2 は整数であるから, 42(k+1)+1+3(&+1)+2 は 13の倍 の断りを忘れずに。 数である。 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて①は成り立つ。 別解1. 二項定理を利用 42カ+1+3*+2=4·4°n+3°.3"=4·16"+9·3*=4(13+3)”+9·3* =4(13"+»Ci13"-1.3+,C213"-2.3°+… +,Cn-113·3"-1+3")+9·3" ー二項定理を適用 =4·13(13"-1+,Ci13"-2.3+»C2l3"-3.3°+…+Cn-137-1)+4·3*+9·3 結論を書くこと。 整数 =13·3" よって,4°n+1+3"+2 は 13の倍数である。 別解2. 合同式を利用 16=3(mod 13)であるから 4"=3" (mod 13) この両辺に3"+2=9·3" を加えると ゆえに,4°n+1+3"+2 は 13の倍数である。 よって 4+1=4·3" (mod 13) 4°n+1+3*+2=4·3"+9·3"=13·3"=0 (mod 13) すべての自然数nについて, 3"-2"は 25 の倍数であることを証明せよ。 136 練習 の 【関西

1番の、アとイの最後がわかりません！ 4の100乗の合同が4になったりするところです！

針> 乗法に関する次の性質を利用する。 (イ) 20002000を12 で割った余り (イ)早稲田大) /0(7) 1300 を9で割った 合同式を 次のものを求めよ。 の余り OO00O | 472011 の一の位の数 [(2) 類自治医大) p.492 基本事項項3 a=b(nod m), c=d(mod m) のとき 3 ac=bd (mod m) 4章 4 自然数 nに対し α"=b" (mod m) 法製。 19 )累乗の数に関する余りの問題では, 余りの周期性に着目することがポイントである。 また,合同式を利用して,指数の底を小さくしてから, 周期性を調べると計算がらくに なる。 注意 a"のaを指数の底 という。 特に,a"=1(mod m) となるようなnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 (2) ある自然数Nの一の位の数は, Nを10で割ったときの余りに等しい。したがって、 10を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題:余りの周期性に注目 解答 0(7) 13=4(mod 9) であり 4°=16=7(mod 9), ゆえに 400=4·(4°)=D4 (mod 9)=D' よって1300=4'00=4 (mod 9) したがって,求める余りは 4 (13-4=9 であるから, 13 と4は9を法として合同で あることに着目し,4" に関 する余りを調ベる。 13°, 13 を9で割った余り を調べてもよいが、一般に 0-4, 4° の方がらく。 (2000"の計算は面倒。本 2000 を12 で割った余りは 8であるから,2000 と 8は 12 を法として合同。 4°=64=1 (mod 9) 33 038 0=8 8°=64=4(mod 12), 8*=(8°)==4(mod 12) 82k=4(mod 12) () 2000=8(mod 12) であり 8°=8·4=8(mod 12), g ゆえに,んを自然数とすると 20002000=82000==4 (mod 12) したがって,8" に関する余 りを調べる。 よって したがって,求める余りは 4 2) 47=7(mod 10)であり ド=9·7=3 (mod10), 7*=9=1 (mod 10) ゆえに (47=10·4+7 7°=49=9(mod10), 本茶 1 2011=4·502+3 72011=(7*) 502.73=1502.3=1·3=3 (mod10) 472011=72011=3 (mod10) のから よって 3 したがって、472011の一の位の数は さ 市めよ。 O 面 セ全り 発展 合同式

合同式のmod使うやつです！ この問題解説していただきたいです！ おねがいします！

(5) 今日が金曜日のとき、10°,10'00, 3'00 日後はそれぞれ何曜日が

答え以外の解き方でわかりやすい説明お願いします🙇‍♀️ どうしても理解できないので😥

240 ) (ん 2) の反州 ムにJ リ Aフド数JよUビ以 具と 小りよo V(2) 281を900 で割った余りを求めよ。 J放 (類 16 関西大) Get Ready 242

これの解説お願いします

250 素数p, qを用いてが+g° と表される素数をすべて求めよ。

合同方程式です。 答えは、X=2.5.8.(mod 9)です。 2は求められたのですが、5.8.が分からなかったです。 教えて欲しいです🙇‍♀️

() 62 t2ミ5 (hod 9 / 伝そー (無) (27 +42t0 3226 222 (mod 9)

合同式と合同方程式は同じですか？？

この問題を合同式（mod）を使って計算することはできますか？

12 で割ると1余り, 7で割ると4余る3桁の自然数のうち最大の数を求めよ。 基本例題123 1次不定方程式の整数解の利用 OOOO0 基本122 CHART SOLUTION 1次不定方程式の整数解の利用 条件から ax+6y=c の形に変形 条件を満たす自然数は, 整数x, yを用いて, 12x+1, 7y+4と2通りに表される そこで,まず方程式 12x+1=7y+4 の整数解を求め, それから題意の自然数を 求める。 解答 求める自然数をnとすると, nはx, yを整数として, 次のよう に表される。 aをもで割った商をg. | 余りをrとすると a=bq+r n=12x+1, n=7y+4 よって 12x+1=7y+4 『すなわち 12x-7y=3 の x=3, y=5 は,12.x-7y=1 の整数解の1つであるから まず, ① の右辺を1とし た方程式 12x-7y=1 12-3-7-5=1 の整数解を求める。 両辺に3を掛けると の 12.9-7·15=3 12(x-9)-7(y-15)=0 12(x-9)=7(y-15) の-2から すなわち 12 と7は互いに素であるから,3を満たす整数xは x-9=7k すなわち x=7k+9 (kは整数) *nを求めるためには、 x, yの一方が求まれば よい。 と表される。 したがって n=12x+1=12(7k+9)+1=84k+109 84k+109 が3桁で最大となるのは, 84k+109<999 を満たす kが最大のときであり, その値は このとき 参考 解答では, 12x-7y=1 の整数解の1つを求め,それか ら3を導いて解いた。 しかし,例えばx=2, y=3 がOの整数解の1つであ ることに気がつけば, これを用いて解いてもよい。 本間のように,x, yの係数が比較的小さいときは, 整数 解の1つを直接見つけて解いてしまった方が早い場合も 全84k+109 999 から 999-109 k=10 kS 84 n=84·10+109=949 =10.5……… * 12-2-7-3=3 と①から 12(x-2)-7(y-3)=0 ある。

チャート数学1Aの118番の問題なのですが、2枚目の赤マーカーを引いた部分がよく分かりません。分かりやすく説明して欲しいです。🙏💦

(2) α+6°=c? ならば, a, b, cのうち少なくとも1つは5の倍数であるこ 補充例題118 合同式の利用(1) OOO00 (1)「nを7で割った余りが4であるとき, n?+2n+3 を7で割った余りを求 文字はすべて整数とする。合同式を用いて, 次の問いに答えよ。 実方の 文字はすべて整数とする。合同式を用いて, 次の問いに答えよ。 るときに (1)nを7で割った余りが4であるときn'+2n+3を7で割った余りを求 めよ。 p.418, 419 補足 とを証明せよ。

大学入試でこういうのは出るのでしょうか？？ 今、全くわからなくて、解いている時間が勿体ないなと感じました、 教えて欲しいです！解き方が分からないです！！！

補充例題 118 合 (2) α'+が=c* ならば, a, b, cのうち少なくとも1つは5の倍数であるこ (1) nを7で割った余りが4であるとき, n°+2n+3を7で割った余りを求 文字はすべて整数とする。合同式を用いて, 次の問いに答えよ。 (1) nを7で割った余りが4であるとき, n'+2n+3を7で割った余りた。 めよ。 (2) α'+が=c" ならば, a, b, cのうち少なくとも1つは5の倍数であ2、 とを証明せよ。 p.418, 419補足 C HART OSOLUTION 整数の余りに関する問題 合同式を利用する a=b (mod m), 0<6くm の形を作る。 (1) n+2n+3=6 (mod 7), 0名6く7 となれば, 求める余りは6 (2) 重要例題115と同様に, 背理法を用いて証明する。 解答 (1) n=4 (mod 7) のとき n+2n+3=4°+2·4+3=27=6 (mod 7) よって, 求める余りは 6 (2) 5を法として考えると,整数nが5の倍数でないとき, n=±1, n=±2 のいずれかが成り立つ。 全 27=27-3-7=6 (mod1) 合 (mod 5) を省略するとき は,必ずを断る。 よって n°=1 または n=4 合n=±1 のとき パ=! a+8=c° のとき, a, b, c がすべて5の倍数でないと仮定 すると, α', 6', c?はそれぞれ1または4と合同である。 [1] a=1, 6°=1 のとき [2] a=1, 6°=4 のとき [3] =4, 6°=1 のとき [4] a=4, 6°=4 のとき n=±2 のとき nパ=! a+6°=2 a+6°=5=0 a'+°=5=0 a°+6°=8=3 であることに矛盾する。 ゆえに, a, b, cのうち少なくとも1つは5の倍数である。 参考(2) [1]~ [4] の考察は, 右のような表にまと めて答えてもよい。 りは0,2,3のいずれは である。 4 4 1 a° 1 1 6? 1 4 a°+6° PRACTICE…118 文字はすべて整数とする。合同式を用い