Question

ゲストりょうま

1番の、アとイの最後がわかりません！
4の100乗の合同が4になったりするところです！

針> 乗法に関する次の性質を利用する。
(イ) 20002000を12 で割った余り (イ)早稲田大)
/0(7) 1300 を9で割った
合同式を
次のものを求めよ。
の余り
OO00O
| 472011 の一の位の数
[(2) 類自治医大)
p.492 基本事項項3
a=b(nod m), c=d(mod m) のとき
3 ac=bd (mod m)
4章
4 自然数 nに対し α"=b" (mod m)
法製。
19
)累乗の数に関する余りの問題では, 余りの周期性に着目することがポイントである。
また,合同式を利用して,指数の底を小さくしてから, 周期性を調べると計算がらくに
なる。
注意 a"のaを指数の底 という。
特に,a"=1(mod m) となるようなnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。
(2) ある自然数Nの一の位の数は, Nを10で割ったときの余りに等しい。したがって、
10を法とする剰余系を利用する。
CHART 累乗の数を割った余りの問題:余りの周期性に注目
解答
0(7) 13=4(mod 9) であり
4°=16=7(mod 9),
ゆえに 400=4·(4°)=D4 (mod 9)=D'
よって1300=4'00=4 (mod 9)
したがって,求める余りは 4
(13-4=9 であるから, 13
と4は9を法として合同で
あることに着目し,4" に関
する余りを調ベる。
13°, 13 を9で割った余り
を調べてもよいが、一般に
0-4, 4° の方がらく。
(2000"の計算は面倒。本
2000 を12 で割った余りは
8であるから,2000 と 8は
12 を法として合同。
4°=64=1 (mod 9)
33
038
0=8
8°=64=4(mod 12),
8*=(8°)==4(mod 12)
82k=4(mod 12)
() 2000=8(mod 12) であり
8°=8·4=8(mod 12),
g
ゆえに,んを自然数とすると
20002000=82000==4 (mod 12)
したがって,8" に関する余
りを調べる。
よって
したがって,求める余りは 4
2) 47=7(mod 10)であり
ド=9·7=3 (mod10), 7*=9=1 (mod 10)
ゆえに
(47=10·4+7
7°=49=9(mod10),
本茶
1 2011=4·502+3
72011=(7*) 502.73=1502.3=1·3=3 (mod10)
472011=72011=3 (mod10)
のから
よって
3
したがって、472011の一の位の数は
さ
市めよ。
O
面
セ全り
発展 合同式