Question

May3

10多項式の割り算の解き方が特殊でわからないです
どういう方針で解けば良いのか解説を読んでもわかりません

10 n を2以上の整数とする。 整数 (n-1) を整数n2-2n+2で割ったときの
商と余りを求めよ。
[20 関西大〕

4224
それに
10 多項式の割り算と整数の割り算
出題テーマと考え方
私立大標準レベル
整数の割り算における商と余りの決定
「数の割り算では、余りが0以上の整数である
ことに注意する。
(例)27を10で割るとき, 0瓜(余り)<10である。
27=10×3-3 ←余りが負
27=10×2+7 商を1つ下げて余りを正に
は2以上の整数であるからロー
n2-2n+2=(n-1)+1>0
よって, 整数 (n-1)3 を整数n2-2n+2で割ったと
きの商を α, 余りをすると
と表される。
(n-1)= a(n2-2n+2)+6 ...... ①
ただし 0≤b<n2-2n+2
象にならない
これを満たす整数 a, b を求めればよい。
(n-1)3,n2-2n+2をnの多項式とみて割り算をす
ると
(n-1){(n-2h+2)-1})
.... ③
(n-1)=(n-1)n² -2n+2)-n+1
このとき,余り-n+1について,nは2以上の整数
より, -n +1<0であるから, ②を満たさない。
ここで,③から{(n-27+1}(h2-2h+2)
(n-1)=(n-2)(n-2n+2)+(n2-2n+2)-n+1
すなわち
(n-1)=(n-2)(n2-2n+2)+n2-3n+3
n2-3n+3 は整数であり,その正負は
3\2 3
n2-3n+3=n- +
また,割る数 n22n+2との大小を考えると,n
は2以上の整数であるから
(n2-2n+2)-(n2-3n+3)=n-1>
0
よって,a=n-2,b=n2-3n+3は ① ② を満た
す。
したがって,求める商と余りは, それぞれn-2,
n2-3n+3である。
11 割り算の問題
出題テーマと考え方
国公立大標準レベル
余りの決定
→
基本問題 7
(2)でP(x)=(x+1)x-1)2Q(x)+ax²+bx+c

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Atsuki@Clearnote×東大生

多項式の割り算（f(x)をg(x)でわる)とは、f(x)=g(x)・Q(x)+R(x)(R(x)の次数<g(x)の次数)と変形することです。
これは整数の割り算とも似ていますが、()内の条件が、
・整数→単純な数の大小
・多項式→次数の大小
となっているところが異なっています。

このため、多項式の割り算をして出したあまりが、そのまま整数の割り算としてのあまりと言えるかどうかはわからないのです。

実際今回は、多項式と見てあまりを出すと負になってしまいました。

そこで、「1個ずつ商を減らし、式のお尻の-n+1を少しずつ増やしていけば、あまりがプラスになるのではないか」、と考えて商である(n-1)を(n-2)に変更しています。

May3

丁寧な解説ありがとうございます
わかりました