✨ ベストアンサー ✨
まずこういう系統の整数問題はそう答えが多くないことを念頭に置いて調べていきます。多すぎると手計算では不可能なので。
p,qはともに素数で、素数のほとんどが奇数ですが、素数の中でも唯一の偶数の素数である2には意識を向けておきます。
なぜなら今回の問題は「p^q+q^p」という形であり、奇数を何乗しても奇数のままで、奇数+奇数=偶数よりp,q両方奇数では少しまずそうというところがとっかかりになっているためです。
また式が対称式になっているためひとまずp=2として考えてみるといった流れを作ります。
以下解答
i)p≠2かつq≠2のとき
p,qは共に3以上の奇素数となり(奇数)^(奇数)=(奇数)また(奇数)+(奇数)=(偶数)となることから p^q+q^p=(4以上の偶数) より素数にはならないので不適
ii)p=q=2のとき
p^q+q^p=2^2+2^2=8より不適
これよりp,qのいずれか一方のみ2であるため，p=2とする。
このときp^q+q^p=2^q+q^2 ー(＊)
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ここから少し実験をしてみます。
q=3 → (＊)=2^3+3^2=17 OK
q=5 → (＊)=2^5+5^2=32+25=57=3×19 NG
q=7 → (＊)=2^7+7^2=128+49=177=3×59 NG
q=11 → (＊)=2^11+11^2=2048+121=2169=3×723 NG
といったようにどうやらqは5以上だと全て3の倍数になってそうなのでqを3の余りで分類してこれを示していきます。このとき「qは奇数である」ということを意識しておいてください。
以下解答
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[イ]q=3のとき (＊)=2^3+3^2=17 より題意を満たす。
[ロ]q=3k+1(k=1,2,3,…)のとき
(＊)=2^q+(3k+1)^2=(3-1)^q+(3k+1)^2
={3N+(-1)^q}+(9k^2+6k+1) (Nは整数)
=3(N+3k^2+2k)
より(＊)は3より大きい3の倍数となり不適
((3-1)^q=3N-(-1)^qとしたのは二項定理を使っています)
[ハ]q=3k-1(k=2,3,4…)のとき
(＊)=2^q+(3k-1)^2=(3-1)^q+(3k-1)^2
={3N+(-1)^q}+(9k^2-6k+1) (Nは整数)
=3(N-3k^2+2k)
より(＊)は3より大きい3の倍数となり不適
よって題意を満たすのは対称性からp=2,q=3とp=3,q=2としたときで、そのときの(＊)の値は17
打ち込みの関係で最後計算を少し端折っています。
余りで分類の部分は合同式がわかるのであればそれでも構いません。
かなり長くなってしまいましたが、質問等あれば気軽に聞いてくださいね。
詳しく教えて下さりありがとうございます！！
納得出来ました。具体的に数字を入れてみて実験してみるとわかりやすいですね。ほんとにありがとうございます。